数据库系统丨关系代数运算总结

1. 需要记忆的符号

• 记号：设 t 为R的元组变量

• 设：R（A₁，A₂，……，A_n）=R(U)

  • t[A_i]（A_i为属性）
  • t[A] （A为属性集）
  

• 常见运算符

  

2. 集合运算

[1] 并运算

• RUS = {t|（t∈R）∨（t∈S）}

[2] 差运算

• R - S = {t|（t∈R）∧（t∉S）}

[3] 交运算

• R∩S = {t|（t∈R）∧（t∈S）}

这三个运算结果为同类关系

[4] 广义笛卡尔积

• 设：R、S为不同类关系，则结果为不同类关系

• R×S={tr ts|（tr∈R）∧（ts ∈ S）}

3. 关系运算

[1] 选择（Selection）

• 在行上做选择，结果产生同类元素

• σF®={t|(t∈R)∧F( t )=true}}

  • 由R中满足F条件的元组组成，F由属性名（值）、比较符、逻辑运算符组成。

• 例如：

  • σA2>5 ∨ A3 ≠“f”® -> 等价于 σ[2]>5 ∨ [3] ≠“f”®
  • 意义：[A2]中大于5，或者[A3]中≠’f’的
  • 

[2] 投影（Projection）

• 在列上做选择，结果产生不同类元素
• πA®={t[A] |(t∈R) }
  • R中取属性名表A中指定的列，消除重复元组。
• 例如：
  • π_A3,A2(T)
  • 意义：去除A3和A2相同的行。
  • 

[3] 连接（Join）

• 连接运算也称为θ运算。

• 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元素。

• - A 和 B 分别为 R 上和 S 上列数相等且可比的属性组 - 含义： - 从 R × S 中选取 R 关系在 A 属性组上的值与 S 关系在 B 属性组上值满足 θ 关系的元组，构成一个新关系。

常用的连接运算有：

• 等值连接（即 θ 为 ‘=’）

  • 

• 自然连接

  • 

  • 是一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重复的属性去掉。

  • 运算步骤：

    ① 计算 R × S

    ② 选择满足等值条件 R.B₁ = S.B₁ Λ ·· ·Λ R.B_K = S.B_K 的元组

    ③ 去掉重复属性 S.B₁, ···, S.B_k

PS: 等值连接与自然连接的区别：

• 自然连接一定是等值连接，但等值连接不一定是自然连接。因为自然连接要求相等的分量必须是公共属性，而等值连接相等的分量不一定是公共属性。

• 等值连接不把重复的属性去掉，而自然连接要把重复属性去掉。

• 完全外连接

  • R和S作自然连接时，把原该舍弃的元组也保留在新关系中，同时在这些元组新增加的属性上填空值（NULL）。

• 左外连接

  • 只把R中原该舍弃的元组放到新关系中。

• 右外连接

  • 只把S中原该舍弃的元组放到新关系中。

[4] 除（Division）

除法：是”至少选择了“的意思

• 设关系R(X，Y)和S(Y，Z)，X，Y，Z为属性组。X属性上的值为x_i。则有：

• R÷S={t[X]|t∈R ∧πY(S)⊆Yx}

  ① 求 π_X®

  ② 求 π_Y(S)

  ③ 求 Y_X：对于每个值 x_i，x_i ∈ π_X®，求 π_Y( σ_X = x_i® )

  ​ （Y_X 为 X 在 R 中的像集，它表示 R 中属性组 X 上值为 x_i 的诸元组上分量的集合。）

  ④ R ÷ S 运算结果为：像集 Y_X 包含了 π_Y(S) 的 x_i