组合数学-证明"指数母函数"求排列数的原理

证明：

指数母函数 可以用来 求排列数

只要证明：

有n个元素的有限重集 可以用指数母函数求排列数 

即证明 ：

以 ∑ x^r / r! 作为乘积因子，来表示n元重集中某个元素的出现次数条件；
将n个乘积因子相乘，展开成指数母函数的形式；
x^r / r! 的系数就是在n元有限重集中取r个元素的排列数，
(有限的具体约束条件由乘积因子反映)

证明：

对于 某一个 x^r，r=a+b+c
会有n元重集的r-组合数(关于每个元素出现次数的组合)个项相加。
例如：某一项为 x^(a+b+c) / a!b!c! = x^r / a!b!c!
表示某3个元素如A，B，C分别确定出现a，b，c次，加起来共r次这一种确定的组合

将该项变形为拥有相同项 x^r / r! 的  (r! / a!b!c!) * (x^r / r!)
r! / a!b!c! 为 重集 {a·A，b·B，c·C}的全排列数

————核心————：
抽取出该项并对该项变形的过程，相当于在n元有限重集中，先找出一个 r-组合，
再针对该 r-组合 得到它的全排列数。
(体现了对组合的分类，和先组合后排列的分步思想)

所以，把 n元有限重集的r-组合个项 加起来，得到的 ar * ( x^r / r!)，
ar 就是 n元有限重集的所有 r-组合的全排列数 相加，
即为n元有限重集的 r-排列数

因此：
以 ∑ x^r / r! 作为乘积因子，来表示n元重集中某个元素的出现次数条件；
将n个乘积因子相乘，展开成指数母函数的形式；
x^r / r! 的系数就是在n元有限重集中取r个元素的排列数，
(有限的具体约束条件由乘积因子反映)
得证！