本节为高等数学复习笔记的第七部分，多元函数微分学（1），主要包括：多元微分法求多元偏导数 。
1. 多元微分法：多元求偏导
（ 1 ） f ( x , y ) ， 固 定 一 个 变 量 ， 对 另 一 个 变 量 求 导 ， 即 （1）f(x,y)，固定一个变量，对另一个变量求导，即（1）f(x,y)，固定一个变量，对另一个变量求导，即：∂ f ( x , y ) ∂ x = f x ′ ( x , y ) \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f'_x(x,y)∂x∂f(x,y)=fx′(x,y)，∂ f ( x , y ) ∂ y = f y ′ ( x , y ) \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f'_y(x,y)∂y∂f(x,y)=fy′(x,y)
（ 2 ） 链 式 求 导 （2）链式求导（2）链式求导：
z = f ( u , v , w ) z=f(u,v,w)z=f(u,v,w)，u = u ( x , y ) u=u(x,y)u=u(x,y)，v = v ( x ) v=v(x)v=v(x)，w = w ( y ) w=w(y)w=w(y)，则 ∂ z ∂ x = ∂ z ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ z ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x 则\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}则∂x∂z=∂u∂z⋅∂x∂u+∂v∂z⋅∂x∂v
（ 3 ） 高 阶 偏 导 数 （3）高阶偏导数（3）高阶偏导数：
二 阶 偏 导 二阶偏导二阶偏导：∂ ( ∂ z ∂ x ) ∂ x = ∂ 2 z ∂ x \frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x})}{\partial x}=\frac{\partial^2z }{\partial x}∂x∂(∂x∂z)=∂x∂2z
二 阶 混 合 偏 导 二阶混合偏导二阶混合偏导：∂ ( ∂ z ∂ x ) ∂ y = ∂ 2 z ∂ x ∂ y \frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x})}{\partial y}=\frac{\partial^2z }{\partial x\partial y}∂y∂(∂x∂z)=∂x∂y∂2z
e g 1 ( 显 函 数 ) . eg1(显函数).eg1(显函数).设 z = f ( e x s i n y , x 2 + y 2 ) ， 其 中 f 具 有 设z=f(e^xsiny,x^2+y^2)，其中f具有设z=f(exsiny,x2+y2)，其中f具有二 阶 连 续 偏 导 数 二阶连续偏导数二阶连续偏导数，求 ∂ 2 x ∂ x ∂ y 求\frac{\partial^2x}{\partial x\partial y}求∂x∂y∂2x。
解 ： 解：解：∂ z ∂ x = e x s i n y f 1 ′ + 2 x f 2 ′ \frac{\partial z}{\partial x}=e^xsinyf_1'+2xf_2'∂x∂z=exsinyf1′+2xf2′，
∂ 2 x ∂ x ∂ y = ∂ ( ∂ z ∂ x ) ∂ y = ∂ ( f 1 ′ e x s i n y ) ∂ y + ∂ ( f 2 ′ ⋅ 2 x ) ∂ y \frac{\partial^2x}{\partial x\partial y}=\frac{\partial(\frac{\partial z}{\partial x})}{\partial y}=\frac{\partial(f_1'e^xsiny)}{\partial y}+\frac{\partial(f_2'\cdot 2x)}{\partial y}∂x∂y∂2x=∂y∂(∂x∂z)=∂y∂(f1′exsiny)+∂y∂(f2′⋅2x)= ∂ f 1 ′ ∂ y ⋅ e x s i n y + f 1 ′ e x c o s y + 2 x ∂ f 2 ′ ∂ y =\frac{\partial f_1'}{\partial y}\cdot e^xsiny+f_1'e^xcosy+2x\frac{\partial f_2'}{\partial y}=∂y∂f1′⋅exsiny+f1′excosy+2x∂y∂f2′，
又 ∂ f 1 ′ ∂ y = f 11 ′ ′ ⋅ e x c o s y + f 12 ′ ′ ⋅ 2 y 又\frac{\partial f_1'}{\partial y}=f_{11}''\cdot e^xcosy+f_{12}''\cdot 2y又∂y∂f1′=f11′′⋅excosy+f12′′⋅2y，
∂ f 2 ′ ∂ y = f 21 ′ ′ ⋅ e x c o s y + f 22 ′ ′ ⋅ 2 y \ \ \ \ \frac{\partial f_2'}{\partial y}=f_{21}''\cdot e^xcosy+f_{22}''\cdot 2y ∂y∂f2′=f21′′⋅excosy+f22′′⋅2y，
∴ ∂ 2 x ∂ x ∂ y = f 11 ′ ′ e 2 x s i n y c o s y + 2 e x ( y s i n y + x c o s y ) f 12 ′ ′ \therefore \frac{\partial^2x}{\partial x\partial y}=f_{11}''e^{2x}sinycosy+2e^x(ysiny+xcosy)f_{12}''∴∂x∂y∂2x=f11′′e2xsinycosy+2ex(ysiny+xcosy)f12′′+ 4 x y f 22 ′ ′ + f 1 ′ e x c o s y +4xyf_{22}''+f_1'e^xcosy+4xyf22′′+f1′excosy。
e g 2 ( 隐 函 数 ) . eg2(隐函数).eg2(隐函数).设 z = z ( x , y ) 由 方 程 F ( x + z y , y + z x ) 确 定 设z=z(x,y)由方程F(x+\frac zy,y+\frac zx)确定设z=z(x,y)由方程F(x+yz,y+xz)确定，其 中 F 有 连 续 偏 导 数 其中F有连续偏导数其中F有连续偏导数，求 ： x ⋅ ∂ z ∂ x + y ⋅ ∂ z ∂ y 求：x\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+y\cdot \frac{\partial z}{\partial y}求：x⋅∂x∂z+y⋅∂y∂z.
解 ： 解：解：
方 法 一 ： 将 方 程 两 边 分 别 对 x ， y 求 偏 导 数 得 方法一：将方程两边分别对x，y求偏导数得方法一：将方程两边分别对x，y求偏导数得：
1 ） F 1 ′ ( 1 + 1 y ∂ z ∂ x ) + F 2 ′ ( − z x 2 + 1 x ∂ z ∂ x ) = 0 1）F_1'(1+\frac1y\frac{\partial z}{\partial x})+F_2'(-\frac{z}{x^2}+\frac1x\frac{\partial z}{\partial x})=01）F1′(1+y1∂x∂z)+F2′(−x2z+x1∂x∂z)=0⟹ \Longrightarrow⟹
x F 1 ′ + y F 2 ′ x y ∂ z ∂ x = z x 2 F 2 ′ − F 1 ′ \frac{xF_1'+yF_2'}{xy}\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{x^2}F_2'-F_1'xyxF1′+yF2′∂x∂z=x2zF2′−F1′
2 ） F 1 ′ ( − z y 2 + 1 y ∂ z ∂ y ) + F 2 ′ ( 1 + 1 x ∂ z ∂ y ) = 0 2）F_1'(-\frac{z}{y^2}+\frac1y\frac{\partial z}{\partial y})+F_2'(1+\frac1x\frac{\partial z}{\partial y})=02）F1′(−y2z+y1∂y∂z)+F2′(1+x1∂y∂z)=0⟹ \Longrightarrow⟹
x F 1 ′ + y F 2 ′ x y ∂ z ∂ y = z y 2 F 1 ′ − F 2 ′ \frac{xF_1'+yF_2'}{xy}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z}{y^2}F_1'-F_2'xyxF1′+yF2′∂y∂z=y2zF1′−F2′
⟹ \Longrightarrow⟹
∂ z ∂ x = y z x F 2 ′ − x y F 1 ′ x F 1 ′ + y F 2 ′ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\frac{yz}{x}F_2'-xyF_1'}{xF_1'+yF_2'}∂x∂z=xF1′+yF2′xyzF2′−xyF1′，∂ z ∂ y = x z y F 1 ′ − x y F 2 ′ x F 1 ′ + y F 2 ′ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\frac{xz}{y}F_1'-xyF_2'}{xF_1'+yF_2'}∂y∂z=xF1′+yF2′yxzF1′−xyF2′
⟹ \Longrightarrow⟹
x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ x = z − x y x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial x}=z-xyx∂x∂z+y∂x∂z=z−xy
方 法 二 ： 方法二：方法二：
对 方 程 全 微 分 ， F 1 ′ ⋅ d ( x + z y ) + F 2 ′ ⋅ d ( y + z x ) = 0 对方程全微分，F_1'\cdot d(x+\frac zy)+F_2'\cdot d(y+\frac zx)=0对方程全微分，F1′⋅d(x+yz)+F2′⋅d(y+xz)=0
有 F 1 ′ ⋅ ( d x + y d z − z d y y 2 ) + F 2 ′ ⋅ ( d y + x d z − z d x x 2 ) = 0 有F_1'\cdot(dx+\frac{ydz-zdy}{y^2})+F_2'\cdot(dy+\frac{xdz-zdx}{x^2})=0有F1′⋅(dx+y2ydz−zdy)+F2′⋅(dy+x2xdz−zdx)=0
有 : 有:有:
( F 1 ′ 1 y + F 2 ′ 1 x ) d z = ( − F 1 ′ + z x 2 F 2 ′ ) d x + ( − F 2 ′ + z y 2 F 1 ′ ) d y (F_1'\frac1y+F_2'\frac1x)dz=(-F_1'+\frac z{x^2}F_2')dx+(-F_2'+\frac z{y^2}F_1')dy(F1′y1+F2′x1)dz=(−F1′+x2zF2′)dx+(−F2′+y2zF1′)dy
两 边 同 乘 x y 两边同乘xy两边同乘xy：
( x F 1 ′ + y F 2 ′ ) d z = ( − x y F 1 ′ + y z x F 2 ′ ) d x + ( − x y F 2 ′ + x z y F 1 ′ ) d y (xF_1'+yF_2')dz=(-xyF_1'+\frac {yz}{x}F_2')dx+(-xyF_2'+\frac {xz}{y}F_1')dy(xF1′+yF2′)dz=(−xyF1′+xyzF2′)dx+(−xyF2′+yxzF1′)dy
⟹ \Longrightarrow⟹
∂ z ∂ x = y z x F 2 ′ − x y F 1 ′ x F 1 ′ + y F 2 ′ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\frac{yz}{x}F_2'-xyF_1'}{xF_1'+yF_2'}∂x∂z=xF1′+yF2′xyzF2′−xyF1′，∂ z ∂ y = x z y F 1 ′ − x y F 2 ′ x F 1 ′ + y F 2 ′ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\frac{xz}{y}F_1'-xyF_2'}{xF_1'+yF_2'}∂y∂z=xF1′+yF2′yxzF1′−xyF2′
⟹ \Longrightarrow⟹
x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ x = z − x y x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial x}=z-xyx∂x∂z+y∂x∂z=z−xy
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