一、离散信号与系统

1.离散的基本概念

模拟信号与数字信号从纵轴幅值上分析
连续信号与离散信号从横轴时间上分析

狭义模拟信号：时间连续，幅值连续
时域离散信号：时间离散，幅值连续(t\特殊模拟信号)
狭义数字信号：时间离散，幅值离散
幅度离散信号：时间连续，幅值离散（特殊数字信号）

系统的目的就是对信号进行变换、处理的
连续系统：由加法器、乘法器、积分器组成，信号波形发送变化
离散系统：由加法器、乘法器、延时器组成，信号序列发送变化

2.频谱基本概念

信号的频谱（or频谱密度函数）

$F(nw1)频谱$
$|F(nw1)|幅频特性（幅度频率特性）、幅度谱(幅度频谱图)$
${\phi }_n相频特性（相位频率特性）、相位谱（相位频谱图）$

$F(w)频谱密度函数，简称频谱函数$
$|F(w)|幅频特性（幅度频率特性）、幅度谱(幅度频谱图)$
$\phi (w)相频特性（相位频率特性）、相位谱（相位频谱图）$

系统频谱

单位冲击响应h(t)或h(n)

连续信号的系统函数$H(s)$
频率响应特性(函数)$H(jw)$
$H(jw)=|H(jw)|\phi (w)$
$|H(jw)|幅频特性，\phi (w)相频特性$

离散信号的系统函数$H(z)$
频率响应特性(函数)$H(e^{jw})$
$H(e^{jw})=H_g(w)e^{j\theta (w)}$
$H_g(w)幅度特性（振幅响应），\theta (w)相位特性（相位响应）$

3.卷积

连续卷积

理解卷积:
f($\tau$)是$\tau$时刻吃到肚子里面的东西
h(t-$\tau$)，$\tau$时刻吃的东西在t时刻剩余的比例
f($\tau$)h(t-$\tau$)，$\tau$时刻吃的东西在t时刻剩余的量
f(t)卷积h(t)：在t时刻肚子里食物量
h(t)是一个系统函数，0时刻吃的东西，在肚子里t时刻剩余函数的比例

计算卷积：
交叉相乘：先翻转，再平移t后乘积的积分

离散线性卷积（卷积和）

离散循环卷积（圆周卷积）

二、离散傅里叶变换

1.理想采样信号的傅里叶变换（FT）

1.1 原模拟信号：傅里叶变换结果的横坐标$\Omega 或f$

模拟角频率$\Omega =2\pi f$——信号带限频率${\Omega }_c$
模拟频率(线频率)$f$——信号带限频率$f_c$或$f_{max}$
注：数字信号没有线频率

1.2 模拟周期冲击信号：

采样周期$T_s$(或T)——周期冲击信号的周期
采样角频率${\Omega }_s=\frac{2\pi }{T_s}$——周期冲击信号模拟角频率
采样频率$f_s或F_s=\frac{1}{T_s}$——周期冲击信号的模拟频率。
注：$F_s/2$折叠频率

1.3 理想采样信号：一般模拟信号，只能FT得到横轴$\Omega 或f$

理想采样信号=原模拟信号乘以周期冲击信号
理想采样信号$\stackrel{-}{x_a(t)}$是对连续模拟信号采样:

1.4 周期冲击信号的FT与理想采样信号的FT

利用时域相乘频域卷积的方法求理想采样信号的傅里叶变换

1.5 时域离散信号的FT（横轴换成w即DTFT）

时域离散信号：特殊模拟信号
这里采样直接对时域离散信号傅里叶变换


结论：理想采样信号FT与时域离散信号DTFT 等价
上一讲得到理想采样信号的连续傅里叶变换（FT）的频谱是模拟信号频谱周期性延拓
这一讲得到时域离散信号的离散傅里叶变换(DTFT)的频谱也是模拟信号频谱周期性延拓

2.离散非周期信号的离散时间傅里叶变换（DTFT）

时域离散信号$x(n)$：
横轴为nT省略成n，纵轴为x(nT)省略成x(n)

数字域频率$w=\Omega T_s=\frac{\Omega }{F_s}=2\pi \frac{f}{f_s}$,归一化频率范围$【0,2\pi 】$
时域离散信号的周期为$N$,满足$x(n)=x(n+N)$
$即x(w_{0}n)=x(w_0(n+N))$
$w_{0}N是2\pi 的整数倍,w_{0}N=2\pi k$
$即NT=\frac{2\pi }{\Omega }k$
$采样信号的模拟周期是原模拟信号周期的k倍$
$过了N个点波形重复$

3.离散周期信号的傅里叶级数(DFS)

4.离散周期信号离散时间傅里叶变换（DTFT）

4.1基本序列的傅里叶变换

4.2复指数信号的离散时间傅里叶变换

5.离散傅里叶变换(DFT):与DFS密切相关

5.1 时域采样定理（奈奎斯特采样定理或奈奎斯特定理）

原理：
时域连续非周期的信号$x(t)$通过FT得到频域非周期连续$F(j\Omega )$
时域离散非周期的理想采样信号$x(t{)}^{\prime }$通过FT得到频域周期连续的$X(j\Omega {)}^{\prime }$
时域离散非周期的时域离散信号$x(n)$通过DTFT得到频域周期连续$X(e^{jw})$

理解：
研究能否通过采样后的$x(t{)}^{\prime }$或$x(n)$恢复x(t)
即研究能不能通过周期连续的频谱$X(j\Omega {)}^{\prime }$或$X(e^{jw})$恢复非周期连续的频谱$F(j\Omega )$
即研究$x(t{)}^{\prime }$或$x(n)$通过低通滤波器能否恢复成x(t)

结论：
如果采样点数少，可能发生频谱混叠，x(n)无法恢复x(t)
条件如下：
连续非周期信号的持续时间$T_p$一定
采样间隔$T_s$越小，采样点数M越多,采样频率$f_s$越高
采样周期$T_s$足够小
采样频率足够大$\frac{F_s}{2}>f_{max}$即$f_s>2f_c$
采样角频率足够大${\Omega }_s\ge 2{\Omega }_c$

时域采样定理的内插公式：
频域通过乘以低通滤波器恢复
即时域通过卷积低通滤波器时域表达式sa函数恢复

5.2 频域采样定理：

原理：
时域连续非周期的信号$x(t)$通过FT得到频域非周期连续$F(j\Omega )$
时域离散非周期的理想采样信号$x(t{)}^{\prime }$通过FT得到频域周期连续的$X(j\Omega {)}^{\prime }$
时域离散非周期的时域离散信号M点$x(n)$通过DTFT得到频域周期连续$X(e^{jw})$，周期$2\pi (归一化)$
M点时域离散$x(n)$以N为周期延拓$x_N(n)$，DFS得到以N为周期的频域离散$X_N(k)$
时域离散非周期的M点$x(n)$通过N点DFT得到频域非周期离散N点$X(k)$
——DFT由DFS截取N点主值序列
——$X(k)$是对连续频谱$X(e^{jw})$一个$2\pi$周期做N点等间隔采样得到

理解：
研究能否通过采样后的$X(k)$恢复连续的频谱$X(e^{jw})$一个$2\pi$区间
即研究能否通过采样后的$X_N(k)$恢复连续的频谱$X(e^{jw})$全区间
即研究能否通过$x_N(n)$恢复M点$x(n)$
即研究$x_N(n)$的截取N点主值序列是不是M点$x(n)$

结论：
如果发生时域混叠，则$X(k)$无法恢复频谱$X(e^{jw})$
条件如下：
连续非周期信号的采样时间$T_p$一定,频率分辨率一定，同时采样间隔一定即采样点数就为M点，
进行DFT的点数N越多，在频域上的采样点数N越多
DFT点数N>=信号有效点数M——IDFT的结果即$X_N(k{)}^{\prime }$主值序列就是x(n)，无时域混叠

频域采样定理的内插公式：
时域通过截取主值序列恢复
即时域通过乘以矩形窗恢复，频域通过卷积sa函数进行恢复

5.3 为什么有DFT？

连续非周期信号$x(t)$：FT连续非周期的频谱密度函数$F(w)$

问题1：FT不行，计算机无法输入的连续时域信号
——计算机可以输入采样的非周期离散信号$x(n)：$DTFT是F(w)周期延拓或DTFT得到连续周期频谱密度函数$X(e^{jw})$

问题2：x(n)可以无失真恢复x(t)吗？
——可以，满足时域采样定理

问题3：FT/DTFT不行，计算机依然无法输出周期连续的频谱
——非周期离散信号周期延拓得到$\check{x}(n)$：DFS离散周期的频谱密度函数$\check{X}(k)$
注：DFS的傅里叶级数没有1/N，X（k）是频谱密度函数不是频谱，就是让X(k)直接变成连续信号的采样）

问题4：$\check{X}(k)$能够恢复出$X(e^{jw})$吗？
——可以，频域采样定理

问题5：DFS不行，计算机无法输入输出都是无限长的
——非周期离散信号周期傅里叶级数时域和频域截取主值序列即DFT
DFS是对DTFT的在每个$2\pi$区间上的N点等间隔采样
DFT是对DFS的时域和频域取主值序列N个点

5.4 DFT误差分析

5.4.1 有效采样点数M

1.时域信号长度$Tp$一定,只缩短采样周期来增加原信号有效采样点数M
——$Tp$一定,即频率分辨率不变
——采样频率不够大，频域混叠
——理想采样信号频谱延拓,${\Omega }_s、f_s$持续增加，检测信号的不同的频率成分越多，信号的真实频谱范围增加DFT低频信号带宽占$0到2\pi$范围减小，$0到2\pi$反映的信号频率成分更全面（归一化反映不是真实的信号频率）

2.采样频率不变，增加信号持续时间$T_p$增加原信号有效采样点数M
——信号截断效应缓解，信号M大则截止频率越小
——采样频率一定，频域延拓周期一样，信号越长频域采样点数越多，频率分辨率自然高

有效采样点数$M=\frac{T_p}{T_s}=T_p{f}_s$
频率分辨率$F（单位Hz）=\frac{f_s}{M}=\frac{1}{M{T}_s}=\frac{1}{T_p}$

注：
时间分辨率高是采样周期小
频率分辨率F是对模拟信号频谱的采样间隔,只和$T_p$有关，越接近真实频谱，频率分辨率越高

5.4.2 频域采样点数N

1.N不够大，时域混叠
时域采样周期不变，给信号补零来增加信号DFT在频域采样点数N
2.采样间隔T不变，理想采样信号频谱不搬移，没有让反映信号的频率成分更全面。
3.DFT连续频谱频域N点等间隔采样，即补零的周期延拓使得N越大，这一段频率更靠近连续谱了，减小栅栏效应，增加了观察分辨率。
4.频率分辨率有没有提高不一定。若数据在补零位置就是0确实提高了频率分辨率，但数据在补零位置不是零，我们的频谱逼近的是在补零位置为0的连续频谱，故频率分辨率没有提高，即也许出现截断效应那么频率无法完善。补零点得到的是高密度频谱，并不能得到高分辨率谱，要提高频率分辨率，则要通过增加数据记录长度来提高物理分辨率。

5.4.3 频谱混叠、截断效应、栅栏效应：

时域抽样——频谱混叠：

进行预滤波（抗混叠滤波器）
增加采样频率，$f_s>=2f_c$，增加频谱搬移程度

时域截断——截断效应（频谱泄露、干扰）：

增大窗函数长度M
增大截取的有效采样点数M
增大截取信号长度Tp
增大频率分辨率F

频谱变宽拖尾振荡
非周期信号很长，就需要窗函数截取非周期信号的一段
频域卷积窗函数，时域乘以sa函数，sa函数要用窗截取
窗有矩形窗、三角窗、二阶升余弦窗、汉明窗、海宁窗、布莱克曼窗

频域抽样——时域混叠：

增大频域采样点数N使满足：
频域采样点数N>截取的信号点数M

频域抽样——栅栏效应

非周期信号当成周期信号，频域从连续谱变成离散谱，肯定存在栅栏效应
补零使得频域采样点数N越大，观察分辨率越高
减小截断效应，即增大窗函数长度增大频率分辨率

6. 快速傅里叶变换(FFT与IFFT)

matlab应用：FFT与IFFT

N点DFT的运算量：

三、z变换

z变换是将信号做不同常数级衰减之后再进行离散时间傅里叶变换
在单位圆外说明需要衰减，在单位圆内说明扩大都没事！

DTFT傅里叶变换与z变换

零极点分布与幅频特性

$H(e^{jw})$变换成零极点类型，根据零极点大致判断$H(e^{jw})$的幅频特性曲线
$e^{jw}$是在复平面单位圆上移动的点，从0到$2\pi 一次循环$
分子变成零点矢量，由零点指向单位圆上的点
分母变成极点矢量，由极点指向单位圆上的点

线性相位FIR零极点分布的特点

四、手工滤波器设计

模拟滤波器、数字滤波器
低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器

1.模拟滤波器设计

模拟滤波器设计方法：
巴特沃斯滤波器：通带平坦，单调下降的幅频特性
切比雪夫滤波器：通带或阻带具有等波纹特性
椭圆滤波器：通带具有等波纹特性
贝塞尔滤波器：通带具有线性相位特性

设计指标

${\Omega }_p通带边界频率$,${\alpha }_p通带最大衰减,即幅度下降{\alpha }_p$
——通带衰减不能超过这个指标
${\Omega }_s阻带截止频率$,${\alpha }_s阻带最小衰减，即幅度下降{\alpha }_s$
——阻带衰减必须超过这个指标
${\Omega }_c是3dB频率，幅度下降到\frac{\sqrt[]{2}}{2},功率下降了一半$

设计巴特沃斯低通滤波器的一般步骤与实例

利用巴特沃斯模拟低通滤波器设计模拟高通滤波器

利用巴特沃斯模拟低通滤波器设计模拟带通滤波器

2.数字滤波器设计

数字滤波器设计方法：
无限长单位脉冲响应IIR滤波器、有限长单位脉冲响应FIR滤波器

2.1 IIR滤波器设计（典型设计需要变换）

例1：设计IIR数字低通滤波器-脉冲响应不变法

脉冲响应不变法是利用z变换与拉普拉斯变换之间的对应关系，但是要转换为零极点增益模型

简单实例：

例2：设计IIR数字低通滤波器-双线性变换法

例3：设计IIR数字高通滤波器-双线性变换法(不能用脉冲响应不变法）

2.2 FIR滤波器设计

第一类线性相位：h(n)偶对称

频域特点：$\theta (w)=-\tau w$
时域特点：$h(n)以\tau 为中心偶对称,\tau =\frac{N-1}{2},即h(n)=h(N-1-n)$
N为奇数时，对称轴有数值；N为偶数时,对称轴可以没有数值的小数

第二类线性相位：h(n)奇对称

频域特点：$\theta (w)=-\frac{\pi }{2}-\tau w$
时域特点：$h(n)以\tau 为中心奇对称,\tau =\frac{N-1}{2},即h(n)=-h(N-1-n)$
N为奇数时，对称轴有数值且数值必须为0；N为偶数时,对称轴可以没有数值的小数

线性相位FIR滤波器幅度响应的特点（三角函数形式的傅里叶变换）

一类线性相位h(n)偶对称，N为奇数

一类线性相位h(n)偶对称，N为偶数（$H(\pi )=0$，不能高通、带阻）

二类线性相位h(n)奇对称，N为偶数 （$H(0)=H(\pi )=0$，不能低通、带阻、高通)

二类线性相位h(n)奇对称，N为奇数 （$H(0)=0$,不能低通、带阻)

窗函数法

目标滤波器的频域特性$H_d(w)$，对应目标滤波器的时域特性$h_d(n)$
对目标滤波器的时域特性做怎样的处理（选取怎样的窗函数$w(n)$）
实际能实现滤波器的时域特性$h(n)$，实际能实现滤波器的频域特性$H(w)$

使用矩形窗的滤波器实际频域H(w)

其他窗函数的时域$w(n)$表达式与频域H(w)图像

窗函数的技术指标:N越大$W(w)与H(w)$过渡带越窄

给定指标阻带最小衰减${\alpha }_s$，找到衰减更厉害一些满足条件的窗的A
给定指标过渡带宽$\Delta w$（通过条件计算出来）
$N=\frac{A}{\Delta w}$

频率采样法

等波纹逼近法