【51nod】1486 大大走格子 DP+组合数学

题目传送门

很久以前就考过的题目了……但是为什么我一直都不会……

考虑两个障碍物之间的转移，方案数就是$C^{x2-x1}_{x2-x1+y2-y1}$。

把起点和终点加到障碍物里一起转移，先按坐标升序排序。

然后定义$f[i]$表示前$i$个障碍物只经过第$i$个的方案数，$f[i]=C^{x_i-1}_{x_i+y_i-2}+\sum_{j=1}^{j<i}f[j]\times C^{x_i-x_j}_{x_i-x_j+y_i-y_j}$

组合数什么的逆元直接搞就好了。

附上AC代码：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=2e3+10,mod=1e9+7,M=2e5+10;
struct note{
    int x,y;
    bool operator < (const note lyf) const {return x==lyf.x?y<lyf.y:x<lyf.x;}
}a[N];
int n,h,w,fac[M],inv[M];
ll f[N];

inline char nc(void){
    static char ch[100010],*p1=ch,*p2=ch;
    return p1==p2&&(p2=(p1=ch)+fread(ch,1,100010,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}

inline void read(int &a){
    static char c=nc();int f=1;
    for (;!isdigit(c);c=nc()) if (c=='-') f=-1;
    for (a=0;isdigit(c);a=(a<<3)+(a<<1)+c-'0',c=nc());
    return (void)(a*=f);
}

inline void pre(int n){
    fac[0]=inv[0]=fac[1]=inv[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
}

inline int com(int x,int y){return 1ll*fac[y]*inv[x]%mod*inv[y-x]%mod;}
inline int calc(int i,int j){return com(a[i].x-a[j].x,a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y);}

int main(void){
    read(h),read(w),read(n),pre(h+w);
    for (int i=1; i<=n; ++i) read(a[i].x),read(a[i].y);
    sort(a+1,a+1+n),a[0]=(note){1,1},a[++n]=(note){h,w};
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        f[i]=calc(i,0);
        for (int j=1; j<i; ++j)
            if (a[i].y>=a[j].y) f[i]=(f[i]-f[j]*calc(i,j)%mod+mod)%mod;
    }
    return printf("%lld\n",f[n]),0;
}