多元函数第二：线性空间（2）子空间与生成空间

线性空间（1）为线性空间给出了公理化的定义，关于线性空间的所有性质，都是由这个公理化的定义推导而得的。本文首先介绍线性空间的几个基本性质，并根据这些性质引出子空间和生成空间的概念。

引理1. 对线性空间V中的任意向量v都有0\cdot v = \mathbf{0}，这里0是域F上的加法幺元，0是V上的加法幺元（记住V是一个阿贝尔加法群）。

证明. 由线性空间的定义，

（1） 0\cdot v = (0+0)\cdot v = (0\cdot v) +(0\cdot v)

上式中第一个等号后面的+是域F上的加法，第二个等号后面的+是空间V上的阿贝尔群加法。今后，我们依照习惯，“将错就错”，用笼统的一个加号表示所有的加法运算。

对（1）式的等号两边同时加上0\cdot v的加法逆元-(0\cdot v)便有

\mathbf{0}=0 \cdot v + [-(0\cdot v)]=0 \cdot v + 0 \cdot v + [-(0\cdot v)] = 0 \cdot v.

在上面的推导中，我们将0\cdot v和-(0\cdot v)看作是两个整体，它们都是V上的元素。引理证毕。

引理2. 对线性空间V中的任意元素v和域F上的任意元素\alpha都有\alpha \cdot v的逆元为（-\alpha）\cdot v(-\alpha) \cdot v.

证明.(\alpha \cdot v) + [(-\alpha)\cdot v]=[\alpha + (-a\lpha)]\cdot v = 0 \cdot v = \mathbf{0}.

在第一个等号左边，我们将\alpha \cdot v和-(\alpha \cdot v)看作是两个整体，它们都是V上的元素。第一个等号成立是因为线性空间的分配律，第二个等号成立是因为引理1.

证毕。

 

有了这两个基本引理，就可以引入子空间的概念了。

 

定义. 记V为域F上的空间。若S为V的非空子集，且满足\alpha \cdot v + \beta \cdot w \in S对所有的\alpha, \beta \in F和v,w\in S成立，则称S是V的子空间。

注意，上面的定义本质上是说，S对向量加运算和数乘运算封闭。从这个定义，可以立即得出S也是F的线性空间。这也是“子空间”这个概念的由来。见下面的命题。

 

命题1. 若S是V的子空间，则S也是域F上的线性空间。

证明. 

首先证明S是一个阿贝尔群。

1. S包含加法幺元。令\alpha = \beta = 0，v=w为S中的任意向量。由引理1便有0\cdot v + 0\cdot w = \mathbf{0} \in S.

2. S中的任意向量v，其加法逆元-v\in S。令\alpha为F上乘法幺元1的加法逆元-1，\beta=0, w=\mathbf{0}，由引理2便有(-1) \cdot v=-v\in S。

3. S满足向量加法的交换律和结合律。这点可以由S是V的子集得到保证。

其次，证明S满足线性空间中数乘运算的关系式。

1. S对数乘运算封闭。令\beta=0, w=\mathbf{0}便有\alpha \cdot v \in S对所有的\alpha \in F, v \in S成立。

2. S满足数乘运算的分配律。这点可以由S是V的子集得到保证。

综上可知S是一个空间，命题证毕。

 

线性空间中最重要的子空间是向量的生成空间。

定义. 设W=\{w_1, w_2,...,w_n\}是线性空间V中有限个向量组成的集合。那么W的生成空间定义为

span (W) = \{\sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot w_i: \alpha_i \in F, i=1,2,...,n\}.

可以很容易验证，W的生成空间是V的子空间，因此span(W)也是F上的空间。事实上，span(W)是包含W的最小的空间。见下面的命题。

 

命题2. span(W)是线性空间V的子空间。

证明. 对任意的v_1,v_2\in V, 记

v_1=\sum_{i=1} \gamma_i \cdot w_i,

v_2=\sum_{i=1} \theta_i \cdot w_i,

这里的\gamma_i,\theta_i都是域F上的元素。那么对任意的\alpha,\beta \in F有

\alpha \cdot v_1 + \beta \cdot v_2 = \sum_{i=1}^n (\alpha \cdot \gamma_i + \beta \cdot \theta_i)\cdot w_i

根据span(W)的定义知\alpha \cdot v_1 + \beta \cdot v_2 \in span(W)。命题证毕。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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