1696年约翰·伯努利在写给他哥哥雅克布·伯努利的一封公开信中提出了如下的“捷线”问题：设想一个质点沿连接点A和一个更低的点B的一条曲线无摩擦力地下滑，如果质点仅在重力的影响下，那么沿怎样一条曲线才使质点下滑所需时间最少？
容易看出，质点沿不同路径降落所需时间是不一样的，直线决不是最快的路径，答案也不是圆弧或其他初等曲线。

我们认识到，在微分法处理极小问题时，要求极小的量仅依赖于一个或若干个数值变量，而捷线问题中考虑的下降时间，却依赖整条曲线。这是一个本质上的不同，因此这个问题不能由微分法来解决。

变分法 费马光学原理

伯努利兄弟和其他人已经找到了解捷线问题的各种不同方法，最初这些方法是对特殊问题而采用的，没过多久，欧拉和拉格朗日(Lagrange,1736-1813)发展出解这种极值问题(自变元不是有限个数值变量而是整个曲线或函数的极值问题)的更一般的方法，叫做变分法。

这里不介绍这些方法的技术细节。变分法在物理中应用很广，很早以前人们就注意到，自然现象常常呈现为某种类型的极大或极小形式。例如赫伦的光线定理：光线由P经平面镜反射到Q所走的路径是P到反射点L再到Q的所有可能路径中的最短路径。这是对平面镜反射定律的另一种阐述。在17世纪，费马对此更进了一步，他观察到，光线的折射定律也可以借助极小定理来描述。

图1 光线的折射定律

我们知道，光线由一均匀介质传播到另一均匀介质时，路径将发生偏折，如上图在I介质中光线速度为v，在II介质中速度为w，则光由P到R的传播路径PQ,QR，由条件

$$\frac{sin\alpha }{sin{\alpha }^{\prime }}=\frac{v}{w}$$

给出。利用微积分，费马证明了这路径使光线由P到R所需的时间最少。这是对光线折射定律的重新阐述，但是这样的一个极小原理的阐述不仅仅只是折射定律换个说法，它比原先的折射定律涵义更为深刻。费马将这个定律推广到其他情形，直到一种任意的光学系统：在这个系统中，光线的速度按一定的方式逐点变化。费马把连续的非均匀介质分割成许多薄层，在每一层光速近似不变，通过从一个薄层到下一个薄层逐次应用他的原理，再将薄层厚度趋于零，费马得到了普遍的几何光学的费马原理：在非均匀介质中，光线在两点间传播要沿着连接该两点的一切路径中费时最少的一条路径前进。

极小原理在物理学的其他分支中也起着支配的作用。比如力学系统的最小作用量原理，它是由哈密尔顿(W.R. Hamilton,1805-1865)从欧拉变分原理推广而来，是力学、光学、电动力学的基础之一，并且在工程中有许多应用。同样，费曼对量子力学的路径积分阐述也是由最小作用量原理向微观系统的推广得来。于是，我们可以看到变分法对现代科学的卓越贡献。

最速下降线问题

回到最速下降线问题上来，我们不讨论解的存在性问题，仅对雅克布·伯努利得到的捷线问题的解法进行一个介绍。这个解法不需很多专业知识就能理解。
首先我们认识到一个力学中的事实：一个质点由A点沿任意曲线静止下滑，到达P点时的速度与A到P的垂直距离h的1/2次方成比例。即由于$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$可以得出$v=c\sqrt{h}$，这里c是常数。
接下来将A到P的空间分成n个薄片，如下图，每一片厚度为d，并假定质点在每一薄片上速度是一样的，那么从A开始到第一个薄片速度为$v=c\sqrt{d}$，第二片

图2

为$v=c\sqrt{2d}$，依次递增，第n片为$v=c\sqrt{nd}=c\sqrt{h}$。在每片中，质点所走的路径是直线段。
当我们考虑这个问题时，最速下降线问题就变为确定一条连接A到P的折线，为确定这个折线我们只需确定在两个薄片邻接处的所有点。把质点类比成光线，根据简单折射律中的极小性原理，每一对相邻的薄片(i与i+1)内，折线的拐点Q应当满足“折射律”：

$$\frac{\sin \alpha }{\sqrt{id}}=\frac{\sin {\alpha }^{\prime }}{\sqrt{(i+1)d}}$$

反复应用这个原理，得到：

$$\frac{\sin {\alpha }_1}{\sqrt{d}}=\frac{\sin {\alpha }_2}{\sqrt{2d}}=...$$

其中${\alpha }_n$是第n个薄片中的折线与垂直于薄片的法线之间的夹角。
现在伯努利将厚度d趋于0，同时薄片数n趋于无穷，那么刚才近似问题的解的折线，将趋于原问题的解所要求的曲线。于是，伯努利给出结论：最速下降线应当是具有下述性质的曲线C，若$\alpha$表示C在任意一点P处的切线与过该点的垂线之间的夹角，h表示由起始点A到P的垂直距离，那么对于C上的所有点，都有$\frac{\sin \alpha }{\sqrt{h}}$是常数。

旋轮线

旋轮线(摆线) 的定义：圆沿直线无滑动地滚动时，圆周上一点的轨迹。

图3 旋轮线

旋轮线具有许多性质，托勒密以十分巧妙的方式用它们来描述太空中行星的运动，另外它也与理想的钟摆的制作有联系：理想质点无摩擦地在铅直的旋轮线上振动时，其振动周期与运动的振幅无关，而普通摆走的圆弧路径和振幅无关只是近似正确，因此他也被誉为等时性曲线。

旋轮线最速下降性质的证明

下面证明旋轮线具有最速下降线应当具有的性质。
如图3，假设圆的半径是r，以角速度$\omega$逆时针转动，于是圆心向右的运动速度$v=\omega t$。考察的点X一开始位于圆与水平线的切点处，则我们可以列出这个点运动的参数方程。
X点在t时刻转动到了$\theta =\omega t$处，因此此时的坐标
$$x(t)=\omega rt-r\sin \omega t$$

$$y(t)=r\cos \omega t-r$$

t时刻的切线参数方程为：

$$\frac{dx(t)}{dt}=\omega r-\omega r\cos \omega t$$

$$\frac{dy(t)}{dt}=-\omega r\sin \omega t$$

于是，此处的切线与过X点的垂线之间的夹角
$$\sin \alpha =\frac{|dx|}{\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}}=\frac{\sqrt{1-cos\omega t}}{\sqrt{2}}$$
由于t时刻X点的h即为y(t)，因此

$$\frac{sin\alpha }{\sqrt{h}}=\frac{\sqrt{1-cos\omega t}}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{rcos\omega t-r}}=const$$

这就证明了$\frac{sin\alpha }{\sqrt{h}}$是常数，即旋轮线是最速下降线。

一些旋轮线及变形

利用python的matplotlib作图，可画出一些旋轮线供欣赏。

图4 圆在直线上滚动

其结果为

图5 圆在直线上滚动得到的旋轮线上图中，红线表示考察圆上的点随圆转动得到的轨迹，蓝线选取的则是圆内的点（如瓷器盘内部的图画），青线画出是圆外的点随圆转动得到的轨迹（如火车轮的凸缘轮上）。
圆在圆内滚动时，同样可以作出旋轮线的变种

图6 圆在大圆上及圆内滚动

图7 圆在大圆上滚动得到的摆线

上图中画出滚动圆r在大圆R上滚动的旋轮线，第一张图中大圆半径比滚动圆半径R/r=6，其中红线是滚动圆上的点的轨迹，蓝线是滚动圆外的点的轨迹；第二张图中R/r=6.5，第三张图中R/r为225/78，是小数形式为无限循环小数的分数，对于这个大圆比滚动圆的半径比，画出滚动圆内部和外部的某点的轨迹。

图8 圆在大圆上滚动，滚动圆内外的点的轨迹

图9 圆在大圆内滚动得到的摆线

上图中画出滚动圆r在大圆R内滚动的旋轮线，由第一张图开始，大圆半径比滚动圆半径R/r分别为:$2$，$3$，$6$，$6.5$，$9/\sqrt{2}$，$225/78$，$9/\sqrt{23}$

图10 圆在大圆内滚动，滚动圆内外的点的轨迹

对于滚动圆r在大圆R内滚动时，滚动圆内部和外部点的轨迹，我们选取了几个特定的大圆-滚动圆半径比，作出如上图形。上图中，第一张和第二张图的R/r为$6.5$，和$9/\sqrt{2}$，第三和第四张图的R/r为$9/\sqrt{23}$，第五和第六张图的R/r为$225/78$。

当滚动圆半径r大于大圆半径R时，我们也可以作出其旋轮线来，几个例子如下图所示，第一到第四张图的R/r分别为$1/2$，$1/3$，$1/3.25$，$1/\sqrt{2}$，这里作图时让滚动圆r与大圆R内切，即滚动圆在大圆"内"滚动。对于滚动圆r与大圆R外切的情况，其情形基本一致，只不过同样R/r的结果略有不同而已，例如下图中第一张图就是我们熟悉的“心形线”，这个“心形线”对于滚动圆r内切大圆R的情况是用R/r为$1/2$来画出的；而对于滚动圆r与大圆R外切的情况，要画出同样的“心形线”要调整R/r为$1$。

图11 滚动圆与大圆内切，滚动圆上的点的轨迹

参考书目：

R.柯朗, H.罗宾, 库兰特, et al. 什么是数学:对思想和方法的基本研究(第三版)[M]. 2005.