多元函数大都由一个数学解析式给出，所以对应法则即由解析式确定，我们重点讨论定义域。在教材p6第二段有如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数时，就以是这个算是有意义的变元的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
这里需要说明，因为我们讨论多元函数以二元函数为主要对象，所以我们举几个二元函数的例子，求其定义域：
函数)ln(y x z +=的定义域为}0),({>+y x y x ；
函数)arcsin(22y x z +=的定义域为}1),{(2
2≤+y x y x 这两个二元函数的定义域都是平面上的点集，所以我们有必要研究平面点集，这就是教材中的第一个大问题“平面点集”并由此推广到“n 维空间”的由来，这些我们留待第二个大问题在讨论。下面我们先讨论二元函数的另一个性质，即它们的图形。
3. 二元函数的图形
回想上一章空间解析几何中我们已经讨论了，比如二元函数943++-=y x z 的图形是一个平面曲面，二元函数2
223y x z +=的图形是椭圆抛物面。这些曲面在xoy 坐标面上的投影即为二元函数的定义域。 二、平面点集 n 维空间
上面再讨论二元函数的定义域是我们说道二元函数的定义域是平面点集，所以我们有必要讨论平面点集。在平面点集中，为例讨论二元函数的极限与连续，其中你非常常用就是一种特殊的平面点集“区域”，其实我们这个问题最重要的名词就是“区域”，而要说清楚什么是“区域”，教材中进行了很长的铺垫，包括“邻域”“内点”“外点”“聚点”“开集”“闭集”“连通集”等很多名词。大家记住，其实这里最重要的就是知道什么是区域。
1. 平面点集
坐标平面上具有某种性质的点的集合称为平面点集，就像我们上面的例子中二元函数的定义域就是一些平面点集。
特别地，二元有序实数组),(y x 的全体，即},),{(2
R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。
下面为了将平面点集进行分类我们先讨论邻域的概念。
①邻域
上册中我们已经讨论了邻域概念，那时是针对一元函数讨论的。回想一下，一元函数中什么叫邻域),(δa U ？即点a 附近的那些点，这些点与0P 点近到什么程度呢？近到与a 点的距离比δ要小的程度，用式子表达就是：}{),(δδδ为半径的左右对称的开区间内部的点。下面我们将一元函数的邻域概念推广到二元函数的邻域概念。
点),(000y x P 是xoy 平面上的一个点，则邻域),(0δP U 表示点0P 附近的那些点，这些点与0P 点近到什么程度呢？近到与0P 点的距离比δ要小的程度，用式子表达就是：