过椭圆外一点引两条切线方程_【001】椭圆中的“射影圆”问题

欢迎关注我的新专栏：Dylan精选数学题。

例 已知椭圆

，过原点

作两条互相垂直的射线，分别交

于

和

两点，则

（1）

，为定值。

（2）直线

到

点的距离

，为定值。

准备工作 先说明（1）和（2）的等价性：

在

中，因为

，所以

另一方面，设直线

到

的距离为

，则

进而

，又由勾股定理知：

故

证明1 设

，联立

得：

，故

用

代替

得：

故

证明2 设

，

，

联立

得：

由韦达定理：

所以

到

距离

，

证明3 同证明2，有

下同证明2。

证明4 设

，代入

得：

由韦达定理：

，下同证明2。

证明5 设

，联立

得：

由韦达定理：

，故

到

距离

证明6 设

，

，

则

，

，代入

得：

，两式相加得

证明7 设

（

为参数），代入

得：

，所以

同理

，两式相加得

证明8 以

为极点，

为极轴建立极坐标系，则

，设

，

，

则

，两式相加得