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1. 二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；
若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值；
它的左右子树也分别为二叉搜索树。
2. 模拟实现二叉搜索树操作
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};实现二叉搜索树操作之前，我们先把树的模板结构写出来：
template<class K>
struct BSTreeNode//树节点
{
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_key(key)
{}
};
template<class K>
class BSTree//BinarySearchTree二叉搜索树
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};2.1. 二叉搜索树的查找
a、从根开始比较，查找，比根大则往右边走查找，比根小则往左边走查找。
b、最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}递归写法：
bool _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_left < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else if (root->_left > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else
return true;
}2.2. 二叉搜索树的插入
插入的具体过程如下：
a. 树为空，则直接新增节点，赋值给root指针
b. 树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}递归写法：
bool _InsertR(Node*& root, const K& key)
//神之一手：Node*加&，不然只靠root = new Node(key)无法插入成功，除非用二级指针
{
if (root == nullptr)
{
root = new Node(key);
return true;
}
if (root->_key < key)
return _InsertR(root->_right, key);
else if (root->_key > key)
return _InsertR(root->_left, key);
else
return false;
}2.3 二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：
a. 要删除的结点无孩子结点
b. 要删除的结点只有左孩子结点
c. 要删除的结点只有右孩子结点
d. 要删除的结点有左、右孩子结点
看起来有待删除节点有4中情况，实际情况a可以与情况b或者c合并起来，因此真正的删除过程如下：
情况b：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除节点的左孩子结点--直接删除
情况c：删除该结点且使被删除节点的双亲结点指向被删除结点的右孩子结点--直接删除
情况d：在它的右子树中寻找最小值，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题--替换法删除
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//开始删除
if (cur->_left == nullptr)//左为空
{
if (cur == _root)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
if (cur = parent->_left)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
if (cur == _root)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur = parent->_left)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
else//左右都不为空
{
//找右子树最小节点替换
Node* minparent = cur;
Node* min = cur->_right;
while (min->_left)
{
minparent = min;
min = min->_left;
}
swap(cur->_key, min->_key);
if (minparent->_left == min)
minparent->_left = min->_right;
else
minparent->_right = min->_right;
delete min;
}
return true;
}
}
return false;
}递归写法：
bool _EraseR(Node*& root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
{
return false;
}
if (root->_key < key)
{
return _EraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key)
{
return _EraseR(root->_left, key);
}
else
{
Node* del = root;
if (root->_left == nullptr)//左为空
{
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr)//右为空
{
root = root->_left;
}
else
{
//找右树的最左(小)节点替换删除
Node* min = root->_right;
while (min->_left)
{
min = min->_left;
}
swap(root->_key, min->_key);
return _EraseR(root->_right, key);
}
delete del;
return true;
}
}3. 二叉搜索树的应用
1. K模型
K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值.
比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
以词库中所有单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误.
实现方法及上述 2 中的实现。
2. KV模型
每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见。
比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英
文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出
现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
简单实现：
namespace KeyValue
{
template<class K,class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode* _left;
BSTreeNode* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key,const V& value)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
,_value(value)
{}
};
template<class K,class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K,V> Node;
public:
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key,value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(key,value);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
//开始删除
if (cur->_left == nullptr)//左为空
{
if (cur == _root)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
if (cur = parent->_left)
parent->_left = cur->_right;
else
parent->_right = cur->_right;
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
else if (cur->_right == nullptr)//右为空
{
if (cur == _root)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
if (cur = parent->_left)
parent->_left = cur->_left;
else
parent->_right = cur->_left;
}
delete cur;
cur = nullptr;
}
else//左右都不为空
{
//找右子树最小节点替换
Node* minparent = cur;
Node* min = cur->_right;
while (min->_left)
{
minparent = min;
min = min->_left;
}
swap(cur->_key, min->_key);
if (minparent->_left == min)
minparent->_left = min->_right;
else
minparent->_right = min->_right;
delete min;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == NULL)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
void TestBSTree()
{
BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("string", "字符串");
dict.Insert("right", "右边");
dict.Insert("left", "左边");
dict.Insert("up", "上边");
dict.Insert("down", "下边");
string str;
while (cin >> str)
{
BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);
if (ret)
{
cout << "该单词中文：" << ret->_value << endl;
}
else
cout << "查无此单词" << endl;
}
}
}
4. 二叉树性能分析
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其平均比较次数为：log_2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其平均比较次数为：N
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