感知机模型收敛性推导

证明的前提是训练数据集线性可分。现在我们想证明感知机模型是会收敛的，也就是说错误训练样例的个数存在一个上限。这个定理是Novikoff在1962年时给予证明的，我阅读其论文和李航的统计学习方法之后自己进行了推导。
首先，如果训练数据集线性可分，那么所有训练数据点到分离超平面的距离存在一个最短距离，我们记为$\gamma$，为了我们对分离超平面的参数的记法进行修改$\hat w=[w^T b]^T, \hat x=[x^T 1]^T$，这样分离超平面可以写成$\hat w \hat x=0$，令最终的分离超平面为$\hat w^*$且其范数为1。这里我们使用一个重要的不等式进行证明——柯西不等式，我们这样使用

$$\hat w \cdot \hat w^* \leq ||\hat w|| \cdot||\hat w^*||$$ 这里使用迭代的思想来证明，当算法迭代到第k次时 $$\hat w_k \hat w^* =(\hat w_{k-1} + \hat x_ty_t)\hat w^* \geq \hat w_{k-1}\hat w^* + \gamma \geq \dots \geq k\gamma$$ 其中第一个等号根据梯度下降法中参数的迭代步骤，第一个不等号根据任何数据点到最终分离超平面距离存在最小值。 $$\begin{eqnarray*} ||\hat w_k||^2 &=& ||\hat w_{k-1} + \hat x_ty_t||^2 \\ &=& ||\hat w_{k-1}||^2 + 2(\hat w_{k-1}\hat x_t y_t) + ||\hat x_t||^2 \\ &\leq& ||\hat w_{k-1}||^2 + ||\hat x_t||^2 \\ &\leq& ||\hat w_{k-1}||^2 + R^2 \\ &\leq& \dots \leq kR^2 \end{eqnarray*}$$ 其中第一个等号根据梯度下降法中参数的迭代，第二个不等号根据y的2次方为1（y=-1|1），第一个不等号根据误分类样本t满足 $\hat w_{k-1}\hat x_t y_t < 0$，第二个不等号是令 $R=max||\hat x_t||$，这样柯西不等式可以写成 $$k\gamma \leq \hat w \cdot \hat w^* \leq ||\hat w|| \cdot||\hat w^*|| \leq \sqrt{k}R$$ 其中第三个不等号成立因为最终分离超平面的参数w的范数为1。综上获得这样的不等式 $$k \leq \frac{R^2}{\gamma^2}$$ 说明错误分类次数存在一个上限值，算法最终的错误分类次数达到上限时就会收敛。因此 如果数据线性可分，那么感知机模型确实会收敛。