线性判别式分析（LDA）：特征提取

线性判别式分析（LDA）

线性判别式分析(Linear Discriminant Analysis, LDA) 是一种有效的特征抽取方法。使用这种方法能够使投影后模式样本的类间散布矩阵最大，并且同时类内散布矩阵最小。即模式在该空间中有最佳的可分离性。

1.原理

将带上标签的数据（点），通过投影的方法，投影到维度更低的空间中，使得投影后的点，会形成按类别区分，一簇一簇的情况，相同类别的点，将会在投影后的空间中更接近。

2.公式推导

2.1 前言

要说明白LDA，首先得弄明白线性分类器(Linear Classifier)：因为LDA是一种线性分类器。
对于K-分类的一个分类问题，会有K个线性函数：

当满足条件：对于所有的j，都有$Y_k>Y_j$,的时候，我们就说x属于类别k。对于每一个分类，都有一个公式去算一个分值，在所有的公式得到的分值中，找一个最大的，就是所属的分类了。

2.2 推导二分类LDA问题

假设用来区分二分类的直线（投影函数)为：

LDA分类的一个目标是使得不同类别之间的距离越远越好，同一类别之中的距离越近越好，所以我们需要定义几个关键的值。
类别i的原始中心点为：（$D_i$表示属于类别i的点)

类别i投影后的中心点为：

衡量类别i投影后，类别内点之间的分散程度（方差）为：

最终我们可以得到一个下面的公式，表示LDA投影到w后的损失函数：

我们分类的目标是，使得类别内的点距离越近越好（集中），类别间的点越远越好。分母表示每一个类别内的方差之和，方差越大表示一个类别内的点越分散，分子为两个类别各自的中心点的距离的平方，我们最大化J(w)就可以求出最优的w了。
想要求出最优的w，可以使用拉格朗日乘子法，但是现在我们得到的J(w)里面，w是不能被单独提出来的，我们就得想办法将w单独提出来。
我们定义一个投影前的各类别分散程度的矩阵，这个矩阵看起来有一点麻烦，其实意思是，如果某一个分类的输入点集$D_i$里面的点距离这个分类的中心点$m_i$越近，则$S_i$里面元素的值就越小，如果分类的点都紧紧地围绕着$m_i$，则$S_i$里面的元素值越更接近0.

带入$S_i$，将J(w)分母化为：

同样的将J(w)分子化为：

这样损失函数可以化成下面的形式：

这样就可以用最喜欢的拉格朗日乘子法了，但是还有一个问题，如果分子、分母是都可以取任意值的，那就会使得有无穷解，我们将分母限制为长度为1，并作为拉格朗日乘子法的限制条件，带入得到：

这样的式子就是一个求特征值的问题了。

对于N(N>2)分类的问题，我就直接写出下面的结论了：

这同样是一个求特征值的问题，我们求出的第i大的特征向量，就是对应的$W_i$了。