解释一下积分变上限函数

本文从以下几个方面讨论这个问题

1. 什么是变上限函数？
2. 它如何求导？
3. 广义的变上限函数求导方法–用牛莱公式一步到位！

1、积分上限函数的通俗理解

先看个例子：

考虑一个定积分：
$$A(b)={\int }_a^{b}f(t)dt\text{\hspace{1em}(1)}$$
如果把的上限在变化的话，那么这个过程就应该是这样的：

图片来自网络侵删。

上图其实是变上限函数 $A(b)={\int }_a^{b}f(t)dt$ 的几何变化情况, 当 $b$ 为变量时这个綠色部分的 面积就是关于 $b$ 的函数。这时我们把 $b$ 换成 $x,A(b)$ 记成 $F(x),$ 它就交成了这个函数：
$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt\text{\hspace{1em}(2)}$$
称为积分变上限函数，有的地方又叫变上限函数，变上限积分。通俗地讲：就是定积分的上限是一个变量，而不是常量。

2、积分变上限函数的性质和导数

这个函数有很多良好的性质，其中一个最爽的性质就是：

• 如果 $f(t)$ 连续，那么 $F(x)$ 连续且可导。

考虑它的导数定义式:
$$\begin{array}{rl}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_a^{x+\Delta x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt}{\Delta x}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

注意（3）式就很有意思了，它表示下图所示的红斜杠阴影部分的面积：

这里要用到积分中值定理：
$${\int }_x^{x-\Delta x}f(t)dt=\Delta x\cdot f(\xi )\text{\hspace{1em}(4)}$$
简单地说就是有个点 $\xi$, 使得在这一点对应的 $f(\xi )$ 作为高, $\Delta x$ 作为密的拒形面积, 等于红 綫阴影部分的曲边梯形的面积。注意这个 $\xi$ 是在 $[x,x+\Delta x]$ 之间的，那么如果 $\Delta x\to 0$ 这个 $\xi$ 就会无限趋于 $x$ 。此时上述矩形的面积也就无限趋近于曲边梯形的面积。

于是把（４）代入（３）就得到：

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{x+\Delta x}f(t)dt}{\Delta x}＝\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x\cdot f(\xi )}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\xi )=f(x)\text{\hspace{1em}(5)}$$

注意：这步推导成立的前提是 $f(x)$ 连续。

再把（5）代回（3），再注意到（3)其实就是 $F(x)$ 的导数，于是：

$$F^{\prime }(x)=\frac{d\left[{\int }_a^{x}f(t)dt\right]}{dx}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=f(x)\text{\hspace{1em}(6)}$$
一元函数连续一定可导，所以证明完成。

3、进入正题：用牛莱公式重新认识积分变上限函数

牛莱公式的定义是：

$${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)\text{\hspace{1em}(7)}$$
如果我直接用它来研究变上限函数会是怎样：

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)\text{\hspace{1em}(8)}$$
左右相等对不对？所以我左边要求导是不是右边也对应求导？

现在正题来了，直接考虑右端求导：

由于左右边求导等于右边求导，那么也就能得到（6）式。

接下来才是最正的题：

考虑（2）式最一般的情形：

$$\Phi (x)={\int }_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt\text{\hspace{1em}(9)}$$
许多人第一次见到这个东西就吓到了，书上动不动就给你拆开分成两个。完全用不着！

这里仍然设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么根据牛莱公式就有：

$$\Phi (x)={\int }_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=F[b(x)]-F[a(x)]\text{\hspace{1em}(10)}$$
那么此时再对 $\Phi (x)$ 求导是不是就感觉容易多了，没错，就是复合函数求导：

$${\Phi }^{\prime }(x)={\left(F[b(x)]-F[a(x)]\right)}^{\prime }=F^{\prime }[b(x)]\cdot b^{\prime }(x)-F^{\prime }[a(x)]\cdot a^{\prime }(x)\text{\hspace{1em}(11)}$$
搞定！