【网络流 24 题】最长递增子序列（最多不相交路径）

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题目描述

给定正整数序列 ，以下递增子序列均为非严格递增。

1. 计算其最长递增子序列的长度$s$。
2. 计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为$s$的递增子序列。
3. 如果允许在取出的序列中多次使用$x_1$和$x_n$，则从给定序列中最多可取出多少个长度为$s$的递增子序列。

输入格式

文件第$1$行有$1$个正整数 ，表示给定序列的长度。接下来的$1$行有$n$个正整数$x_1$~$x_n$ 。

输出格式

第$1$行是最长递增子序列的长度 。第$2$行是可取出的长度为$s$的递增子序列个数。第$3$行是允许在取出的序列中多次使用$x_1$和$x_2$时可取出的长度为$s$的递增子序列个数。

样例输入

4
3 6 2 5

样例输出

2
2
3

分析：

在建模前，需要预处理得到$dp[i]$：表示以$x_i$结尾可以得到的最长递增子序列长度，同时可得第一问的答案——最长递增子序列的长度$s$。

对每一个点进行拆点，如点$u$拆分为$u\to u^{\prime }$（入点为$u$，出点为$u^{\prime }$），容量为1，表示仅可选一次；

对于$dp[i]=1$的点，说明可以作为最长递增子序列的起点，连边$s\to i$，容量为$\infty$；
对于$dp[i]=s$的点，说明可以作为最长递增子序列的终点，连边$i^{\prime }\to t$，容量为$\infty$；

而对于点之间，若$dp[i]+1=dp[j]$，说明$x_j$可以接在$x_i$之后，连边$i^{\prime }\to j$，容量为1。

跑最大流，即为第二问答案。

对于第三问，只需将点1和点n的拆点容量改为$\infty$即可，但要注意特判$s=1$的情况。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6 + 10;
int n, s = 0, t = maxn - 1;
int a[maxn];
int head[maxn], cnt;
struct edge {
    int w;     //边的流量（残量）
    int to;    //该边通向的结点v
    int next;  //点u邻接表的下一条边
} e[maxn];
void add_edge(int u, int v, int w)  //添加一条u->v，最大容量为w的边
{
    //建立正向边
    e[cnt].w = w;
    e[cnt].to = v;
    e[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
    cnt++;
    //建立反向边
    e[cnt].w = 0;  //有些图是需要建立双向边(例如求最小割时），则反向边的初始残量不为0
    e[cnt].to = u;
    e[cnt].next = head[v];
    head[v] = cnt;
    cnt++;
}
int dis[maxn];  // dis数组记录层次
bool bfs()      //利用BFS建立分成图，从而可以多次DFS增广
{
    memset(dis, -1, sizeof(dis));  //初始化dis数组
    queue<int> q;
    q.push(s);
    dis[s] = 0;  //源点层次为0
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to;
            if (e[i].w > 0 && dis[v] == -1)  //可达&&未分层
            {
                dis[v] = dis[u] + 1;  //分层
                if (v == t)           //若到达汇点，则分层结束，返回true
                    return true;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return false;  //运行到此处，说明汇点已不可达，返回false
}
int cur[maxn];  //弧优化：cur数组用于记录上一次DFS增广时u已经增广到第几条边，从而优化时间
int dfs(int u, int flow)  // flow代表流入u点的最大流量
{
    if (u == t)
        return flow;                                 //到达汇点，直接返回flow
    for (int &i = cur[u]; i != -1; i = e[i].next) {  //注意i前面用&引用，这样就可以直接改变cur[u]
        int v = e[i].to;
        if (dis[v] == dis[u] + 1 && e[i].w > 0)  // v为u的下一层&&可达
        {
            int k = dfs(v, min(flow, e[i].w));
            if (k > 0) {
                e[i].w -= k;      //正向边-=k
                e[i ^ 1].w += k;  //反向边+=k
                return k;
            }
        }
    }
    return 0;  //无法继续增广，返回0
}
int dinic() {
    int ans = 0;   //记录总流量
    while (bfs())  //分层
    {
        for (int i = 0; i < maxn; i++)  //初始化cur数组，即将head数组赋给cur数组
            cur[i] = head[i];
        while (int k = dfs(s, INF))  //增广
            ans += k;
    }
    return ans;
}
int dp[1010], max_s;
void init() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    cnt = 0;
}
int main() {
    init();
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[j] <= a[i])
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        max_s = max(max_s, dp[i]);
    }
    printf("%d\n", max_s);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        add_edge(i, n + i, 1);
        if (dp[i] == 1)
            add_edge(s, i, INF);
        if (dp[i] == max_s)
            add_edge(n + i, t, INF);
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[j] <= a[i] && dp[j] + 1 == dp[i])
                add_edge(n + j, i, 1);
        }
    }
    printf("%d\n", dinic());
    init();
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i == 1 || i == n)
            add_edge(i, n + i, INF);
        else
            add_edge(i, n + i, 1);
        if (dp[i] == 1)
            add_edge(s, i, INF);
        if (dp[i] == max_s)
            add_edge(n + i, t, INF);
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[j] <= a[i] && dp[j] + 1 == dp[i])
                add_edge(n + j, i, 1);
        }
    }
    if (max_s == 1)
        printf("%d\n", n);  //特判
    else
        printf("%d\n", dinic());
    return 0;
}