向量与矩阵的范数

向量范数

1. 向量范数1-范数：

$$\Vert x{\Vert }_1=\sum _{i=1}^N|x_i|$$

即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

2. 2-范数：，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度）
$$\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^N{x}_i^2}$$

即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

3. $\infty$-范数：
$$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }|x_i|$$

即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

4. $-\infty$-范数：
$$\Vert x{\Vert }_{-\infty }=\underset{i}{\min }|x_i|$$
即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

5. p-范数：
$$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^N|x_i{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

矩阵范数

1. 1-范数：，
$$\Vert A{\Vert }_1=\underset{j}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{i,j}|$$

列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

2. 2-范数：，
$$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_1},\lambda \text{为}{A}^{T}A\text{的最大特征值}$$

谱范数，即A’A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

3. $\infty$-范数：
$$\Vert A{\Vert }_1=\underset{i}{\max }\sum _{j=1}^m|a_{i,j}|$$

行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

4. F-范数：
$$\Vert A{\Vert }_F={\left(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{\left|a_{i,j}\right|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$

Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

5. 核范数：
$$\Vert A{\Vert }_{\ast }=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i,{\lambda }_i是A的奇异值$$

即奇异值之和。