数学建模：传染病模型

传染病模型

SI模型

假设考察地区的总人数N基本保持不变，时刻t(单位：天)的易感染者(susceptible)和已感染者(infective)的比例分别为s(t)和i(t)。设易感者每天被感染的几率，即感染率，为?。
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{r}\frac{di}{dt}=\lambda si\\ s+i=1\\ i(0)=i_0\end{array} \\ i(t)=\frac{1}{1+\frac{1-i_0}{i_0}{e}^{-rt}} \end{gathered}$$

SIS模型

有些传染病，如伤风、痢疾等，治愈后基本上没有免疫力，于是患者愈合后又变成易感染者。假设每天被治愈的人数比例，即治愈率，为?。
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{r}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i\\ s+i=1\\ i(0)=i_0\end{array} \\ i(t)=\frac{\lambda -\mu }{\lambda +\frac{\lambda -\mu -\lambda i_0}{i_0}{e}^{-(\lambda -\mu )t}} \end{gathered}$$

SIR模型

然而，天花、麻疹等传染病的患者治愈后免疫力很强，这类患者治愈后不会成为易感染者。将治愈者和因感染死亡的人称为移除者(removed)。设时刻t的移除比例为r(t)。
$$\{\begin{array}{r}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i\\ \frac{ds}{dt}=-\lambda si\\ \frac{dr}{dt}=\mu i\\ s+i+r=1\\ i(0)=i_0\end{array}$$

• 参数时变时的SIR模型
  $$\{\begin{array}{r}\frac{di(t)}{dt}=\lambda (t)s(t)i(t)-\mu (t)i(t)\\ \frac{ds(t)}{dt}=-\lambda (t)s(t)i(t)\\ \frac{dr(t)}{dt}=\mu (t)i(t)\\ s(t)+i(t)+r(t)=1\\ i(0)=i_0\\ s(0)=s_0\\ \lambda (0)={\lambda }_0\\ \mu (0)={\mu }_0\end{array}$$