LeetCode-Python-62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

第一种思路：

动态规划。

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。注意边界条件。第一行或者第一列都只有一种走法。

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [[0] * m] * n
        # print dp
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                # print i, j
                if not i and not j:
                    dp[i][j] = 1
                elif not i and j:
                    dp[i][j] = 1
                elif i and not j:
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
                # print dp
        return dp[-1][-1]

第二种思路：

从数学的角度考虑， 机器人一共需要向两个方向各走 m - 1, n - 1 步，即总共要走m + n - 2步，选取其中的m - 1步往右走即可。

所以答案就是C (m + n - 2) （m - 1）。

最好用化简的形式计算，避免溢出。

另外此题的m和n有点怪，跟我印象里是反过来的。

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        # C(m + n - 2) (m - 1)
        k = m + n - 2
        t = m - 1
        
        up = 1
        for i in range(0, t):
            up *= k - i
        
        down = 1
        for i in range(1, m):
            down *= i
        
        # print up, down
        return up // down