线性代数-矩阵的基本定义和运算

矩阵

% 矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，一般用大写字母表示。例如由 $m\times n$ 个数 $a_{i,j}$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表称为 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵。记作：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& \cdots & a_{3,n}\\ \cdots & \cdots & & \cdots \\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right]$$ 这 $m\times n$ 个数称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的元素，简称为元，数 $a_{i,j}$ 位于矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列。
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵。

% 如果这两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同，那么我们就说这两个或两个以上的矩阵是同型矩阵。

矩阵加法

% 一般地，矩阵的加法只能在同型矩阵中进行，结果等于两个矩阵的对应位置相加。减法为加法的逆运算，矩阵的加减法满足交换律和结合律。例如：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+2& 2+5\\ 1+3& 3+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 7\\ 4& 7\end{array}\right]$$

矩阵的数乘

% 一般地，矩阵乘上一个数的结果等于矩阵上所有位置都乘上这个数，这被称为矩阵的数乘，如
$$2\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 8& -3\\ 4& -2& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2\cdot 1& 2\cdot 8& 2\cdot (-3)\\ 2\cdot 4& 2\cdot (-2)& 2\cdot 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 16& -6\\ 8& -4& 10\end{array}\right]$$

% 矩阵的数乘满足分配率，交换律，结合律，对于数 $\lambda$ 和 $\mu$，矩阵 $\mathbf{A}$，有
$$\begin{array}{r}\lambda (\mu \mathbf{A})=(\lambda \mu )\mathbf{A}=\mu (\lambda \mathbf{A})\\ (\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}\\ \lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B}\end{array}$$

矩阵的转置

% 把矩阵 $\mathbf{A}$ 的行和列互相交换所产生的矩阵称为 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵，记作 ${\mathbf{A}}^T$，如
$${\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 0& -2& 8\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& -2\\ 3& 8\end{array}\right]$$

% 矩阵的转置满足如下性质
$$\begin{array}{rl}({\mathbf{A}}^T{)}^T& =\mathbf{A}\\ (\lambda \mathbf{A}{)}^T& =\lambda {\mathbf{A}}^T\\ (\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^T& ={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T\end{array}$$

矩阵的共轭

% 一个矩阵的共轭定义为其在位置上的数的取共轭后得到的矩阵，对于
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right]$$ 其共轭为
$$\overline{\mathbf{A}}=\left[\begin{array}{cc}3-i& 5\\ 2+2i& -i\end{array}\right]$$

矩阵乘法

% 一般地，两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵 $\mathbf{A}$ 的列数和另一个矩阵 $\mathbf{B}$ 的行数相等时才能定义。如 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$ 矩阵和 $\mathbf{B}$ 是 $n\times p$ 矩阵，它们的乘积 $\mathbf{C}$ 是一个 $m\times p$ 矩阵 ，对于元素 $c_{i,j}$，有$$c_{i,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}$$ 记作$$\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}$$ 如$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)& (1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\ (-1\times 3+3\times 2+1\times 1)& (-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right]$$

% 矩阵的乘法满足结合律，分配率，但不满足交换律。
$$\begin{array}{rl}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)\mathbf{C}& =\mathbf{A}\left(\mathbf{B}\mathbf{C}\right)\\ (\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}& =\mathbf{A}\mathbf{C}+\mathbf{B}\mathbf{C}\\ \mathbf{C}(\mathbf{A}+\mathbf{B})& =\mathbf{C}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{B}\end{array}$$

向量

% 向量可视为特殊的矩阵，其也拥有上述的性质。

余子式和代数余子式

% 把一个 $n$ 阶行列式(本质是一个方阵，先往后看) $\mathbf{A}$ 中的元素 $a_{i,j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做元素 $a_{i,j}$ 的余子式，记作 ${\mathbf{M}}_{i,j}$。记 ${\mathbf{D}}_{i,j}=(-1{)}^{i+j}{\mathbf{M}}_{i,j}$，叫做元素 $a_{i,j}$ 的代数余子式。例如：
$$\mathbf{A}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& a_{1,4}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& a_{2,4}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& a_{3,4}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,3}& a_{4,4}\end{array}\right|,\mathbf{M}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,4}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,4}\\ a_{4,1}& a_{4,2}& a_{4,4}\end{array}\right|,$$ 则
$${\mathbf{D}}_{2,3}={\left(-1\right)}^{2+3}{\mathbf{M}}_{2,3}=-{\mathbf{M}}_{2,3}.$$

行列式

% 一个 $n\times n$ 矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，记作 $\det (\mathbf{A})$ 或 $|\mathbf{A}|$：
$$\det \left(\mathbf{A}\right)=a_{i,1}{\mathbf{D}}_{i,1}+...+a_{i,n}{\mathbf{D}}_{i,n}=\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{\left(-1\right)}^{i+j}{\mathbf{M}}_{i,j}.$$

特征值和特征向量

% 设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，如果存在常数 $\lambda$ 和非零向量 $\vec{x}$，满足 $\lambda \vec{x}=\mathbf{A}\vec{x}$，则称 $\lambda$ 为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，可记作 $\lambda (\mathbf{A})$，$\vec{x}$ 是 $\mathbf{A}$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

特征多项式和特征方程

给定 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$，行列式
$$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda -a_{1,1}& -a_{1,2}& \cdots & -a_{1,4}\\ -a_{2,1}& \lambda -a_{2,2}& \cdots & -a_{2,4}\\ \cdots & \cdots & & a_{3,4}\\ -a_{4,1}& -a_{4,2}& \cdots & \lambda -a_{4,4}\end{array}\right|$$ 的结果是一个关于 $\lambda$ 的多项式，称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式，该特征多项式构成的方程 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$ 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征方程。

矩阵的迹

% 一个 $n\times n$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 的对角元素之和称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的迹(trace)，记作 $tr(\mathbf{A})$，即$$tr(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{a}_{i,i}.$$

单位矩阵

% 一个 $n\times n$ 的矩阵，其主对角线上的元素是 $1$，其余元素都为 $0$ 的矩阵称为 $n$ 阶单位矩阵，记作 ${\mathbf{I}}_n$。可以证明，单位矩阵为矩阵乘法运算的单位元，即所有矩阵和单位矩阵的乘法仍等于原矩阵，对于 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$，有 $\mathbf{A}\mathbf{I}=\mathbf{A}=\mathbf{I}\mathbf{A}$

逆矩阵

% 对于矩阵 $\mathbf{A}$，满足 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}=1$ 的矩阵 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 称作矩阵 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵。事实上，人工对高于2阶的矩阵求逆是一件很崩溃的事情。

奇异矩阵

% 当一个矩阵没有逆矩阵的时候，称该矩阵为奇异矩阵。当且仅当一个矩阵的行列式为零时，该矩阵是奇异矩阵。换句话说，一个矩阵存在逆矩阵，当且仅当这个矩阵的行列式不为零。

对称矩阵

% 如果一个矩阵转置后等于原矩阵，那么这个矩阵称为对称矩阵。