一、能控性

通过改变输入量u，能使状态变量由任意初态转移到终态，则称系统状态完全能控
约旦标准型判据
对于状态方程$$\dot{x}=Ax+Bu$$
判据1：A为对角型且特征值互异，状态能控的充要条件是B阵每行元素不全为零
判据2：A为约旦型，状态能控的充要条件是B阵相应于约旦块的最后一行元素不全为0
秩判据
状态能控的充要条件是其能控矩阵$M=[B,AB,A^{2}B,\cdots ,A^{n-1}B]$满秩
n是系统的维数

二、能观性

通过观测系统输出，能唯一确定系统的全部初始状态，则称系统是完全能观的
约旦标准型判据
对于输出方程$$y=Cx$$
判据1：A为对角型且特征值互异，状态能观的充要条件是C阵每列元素不全为零
判据2：A为约旦型，状态能观的充要条件是c阵相应于约旦块的第一列元素不全为0
秩判据
状态能观的充要条件是其能观矩阵$N=[C,CA，\cdots ,C{A}^{n-1}{]}^T$满秩

三、能控与能观的对偶关系

1.对偶系统

设有两个n维系统$(A_1,B_1,C_1),(A_2,B_2,C_2)$
若满足$A_2=A_1^T,B_2=C_1^T,C_2=B{1}^T$,则称两系统是对偶系统
具有以下性质：
传递函数矩阵互为转置
特征方程相同

2.对偶原理

系统1的能控性等价于系统2的能观性
系统1的能观性等价于系统2的能控性

四、能控标准型与能观标准型

1.单输入系统能控标准1型

对于系统$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$$
存在线性非奇异变换$$x=T_{c1}\overline{x}$$
原系统变为能控标准1型
$$\dot{\overline{x}}=\overline{A}\overline{x}+\overline{B}u,y=\overline{C}\overline{x}$$


$a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$是系统特征多项式的各项系数
同时也可以由$$W(s)=C(sI-A{)}^{-1}B=\frac{{\beta }_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +{\beta }_{1}s+{\beta }_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}$$直接写出$\overline{A},\overline{B},\overline{C}$

2.单输入系统能控标准2型

对于系统$$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$$
存在线性非奇异变换$$x=T_{c2}\overline{x}$$
原系统变为能控标准2型

式中$a_0、a_1,\cdots ,a_{n-1}$是系统特征多项式：
$$|\lambda I-A|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$$的各项系数
式中$\overline{c}=[cb,cAb,\cdots ,c{A}^{n-1}b]$

3.单输入系统能观标准1型与能观标准2型

能观标准1型与能控标准2型互为对偶
能观标准2型与能控标准1型互为对偶

五、线性系统的结构分解

1.按能控性分解

非奇异变换$$x=R_c\hat{x}$$

2.按能观性分解

非奇异变换$$x=R_o\hat{x}$$

3.按能控性和能观性进行分解

分解后，传递函数阵不变，与能控能观子系统的传递函数阵相同
具体分解步骤可以先按能控性分解，然后再分别对能控子系统和不能控子系统进行能观性分解

六、传递函数矩阵的实现

对于给定的传递函数阵$W(s)$,存在状态空间表达式满足：
$$C(sI-A{)}^{-1}B+D=W(s)$$
则称该状态空间表达式为传递函数一个实现
最小实现
系统是最小实现的充要条件是系统能控且能观
寻求最小实现的步骤
1.先求W（s）的能控标准型实现
（若r<m采用能控实现，若r>m，采用能观实现）
r，m分别为输入和输出的维数
2.结构分解找出能控且能观的子系统即为最小实现

七、能控性、能观性与传递函数阵的关系

系统能控且能观的充要条件是$W(s)$中没有零点、极点对消
W（s）表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统