1. IMU的简单介绍

• IMU(Inertial measurement unit)中文名叫惯性测量单元。
• 可以测量两个东西，加速度 $a$ 是沿三个轴$a_x,a_y,a_z$方向的线加速度；角速度$w$就是这三个方向的角速度$w_x,w_y,w_z$.
• IMU的频率比较高，一般都在100HZ以上。
• 在IMU内部，除了通常的白噪声，还有个特别的量零偏bias，在这是传感器内部机械、温度等各种物理因素产生的传感器内部误差的综合参数。

2. IMU的状态PVQ

IMU每个时刻可实现自身主体加速度 $a$ 和角速度 $w$ 的测量，那么有测量模型：

可以从第$i$时刻的PVQ，通过对IMU的测试值进行积分，得到第$j$时刻的PVQ：

3. IMU预积分

3.1 推导

问题： 每次 $q_{w{b}_t}$ 优化更新后,都需要重新进行积分,运算量较大。
解决办法：
通过下面的公式转换,可以将积分模型转为预积分模型:

那么,PVQ 积分公式中的积分项则变成相对于第 i 时刻的姿态,而不是相对于世界坐标系的姿态:

预积分量仅仅跟 IMU 测量值有关,它将一段时间内的 IMU 数据直接积分起来就得到了预积分量:

重新整理 PVQ 的积分公式得:

这里有一个前提假设，就是我们认为零偏 $b_i$是已知的，即：

3.2 预积分的离散形式

使用中值法,即两个相邻时刻 k 到 k+1 的位姿是用两个时刻的测量值 a, ω 的平均值来计算：

4. IMU的预积分误差

定义: 一段时间内IMU 构建的预积分量作为测量值,对两时刻之间的状态量进行约束,

5. 预积分量的协方差

eg.

所以,要推导预积分量的协方差,我们需要知道 imu 噪声和预积分量之间的线性递推关系。

假设相邻时刻误差的线性传递方程如下，误差的传递由两部分组成:当前时刻的误差传递给下一时刻,当前时刻测量噪声传递给下一时刻:

协方差矩阵可以通过递推计算得到:

其中,$\Sigma n$ 是测量噪声的协方差矩阵,方差从 i 时刻开始进行递推,$\Sigma ii$ = 0。

6. 状态误差线性递推公式推导_基于一阶泰勒展开

得到预积分误差传递的形式，
表示k+1时刻body系下，预积分的真实值与估计值之间的差异值。

F和G为两个时刻间的协方差传递矩阵，具体为：

其中的系数为，