概率密度函数

概率密度函数（Probability Density Functions，简称PDF），概率密度函数是概率论里面最重要的概念之一。

定义：设 $X$ 为一随机变量，若存在非负实函数 $f(x) \ge 0$ ，使对任意实数 $a < b$ ，有：

$P\{ a \le x < b\} = \int_a^b {f(x)dx}$

则称 $X$ 为连续随机变量， $f(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。

概率密度函数具有如下性质：

（1）非负性： $f(x) \ge 0$

（2）规范性： $\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)dx} = 1$

条件概率密度函数：对于任意给定的 $y$ ，在给定区间 $(a,b)$ 内，条件概率密度函数 $p(x|y)$ 都有如下公式成立：

$\int_a^b {f(x|y)dx} = 1$

密度函数与分布函数的关系：

（1）积分关系： $F(x) = \int_{ - \infty }^x {f(x)dx}$

（2）导数关系：若 $f(x)$ 在 $x$ 处连续， $F'(x) = f(x)$ 。