转载-极化码系列（1）-极化码的起源和概述

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重大时间节点

2016年11月18日，在美国内华达州里诺召开的3GPP RAN1 #87次会议，确定Polar Code作为5G eMBB（增强移动宽带）场景下控制信道编码方案。
2008年，Erdal Arikan在国际信息论ISIT会议上首次提出了信道极化（Channel Polarization）的概念；
2009年在“IEEE Transaction on Information Theory”期刊上发表了一篇长达23页的论文更加详细地阐述了信道极化，并基于信道极化给出了一种新的编码方式，名称为极化码（Polar Code）。极化码具有确定性的构造方法，并且是已知的唯一一种能够被严格证明“达到”信道容量的信道编码方法。

特点（与代数编码和概率编码相对比）：

从代数编码和概率编码的角度来说，极化码具备了两者各自的特点。首先，只要给定编码长度，极化码的编译码结构就唯一确定了，而且可以通过生成矩阵的形式完成编码过程，这一点可代数编码的常见思维是一致的。其次，极化码在设计时并没有考虑最小距离这一特性，而是利用了信道联合与信道分裂的过程来选择具体的编码方案，而在译码时也采用的是概率算法，这一点比较符合概率编码的思想。

主要思想

可达信道容量的证明思想

对于长度是$N=2^n$（$n$为任意正整数）的极化码，它利用信道$W$ 的$N$个独立副本，进行信道联合和信道分裂，得到新的$N$个分裂之后的信道$\{W_N^{(1)},W_N^{(2)},...,W_N^{(N)}\}$。随着码长$N$的增加，分裂之后的信道将向两个极端发展：其中一部分分裂信道会趋近于完美信道，即信道容量趋近于1的无噪声信道；而另一部分分裂信道会趋近于完全噪声信道，即信道容量趋近于0的信道。假设原信道$W$的二进制输入对称容量记作$I(W)$，那么当码长$N$趋于无穷大时，信道容量趋于1的分裂信道比例约为$K=N\times I(W)$，而信道容量趋近于0的比例约为$N\times (1-I(W))$。对于信道容量为1的可靠信道，可以直接放置消息比特而不采用任何编码，即相当于编码速率为$R=1$；而对于信道容量为0的不可靠信道，可以放置发送端和接收端都已知的冻结比特（一般可以全部置0），即相当于编码速率为$R=0$。因此，当码长为$N$时，极化码的可达速率$R=(\frac{N\times I(W)}{N})=I(W)$，即在理论上极化码可以被证明是可达信道容量的。

极化码的编码思想

在极化码编码时，首先要区分出$N$个分裂信道的可靠程度，即也就是哪些属于可靠信道，哪些属于不可靠的信道。对各个极化信道的可靠性进行度量常用的三种方法：巴氏参数（Bhattacharyya Parameter）法，密度进化（Density Evolution，DE）法和高斯近似法（Gaussian Approximation，GA）法。

巴氏参数法

最初，极化码采用巴氏参数$Z(W)$来作为每个分裂信道的可靠性度量，$Z(W)$越大表示信道的可靠程度越低。当信道$W$是二元删除信道（Binary Erasure Channel，BEC）时，每个$Z(W_N^{(i)})$都可以采用递归的方法计算出来，复杂度为$O(Nlog(N))$。然而，对于其他信道，如二进制输入对称信道（Binary-input Symmeric Channel，BSC）二进制输入加性高斯白噪声信（Binary-input Additive White Gaussian Channel，BAWGNC）并不存在准确的能够计算$Z(W_N^{(i)})$的方法。

密度进化法

由于上述原因，Mori等人提出了一种采用密度进化方法跟踪每个子信道概率密度函数（Probability Density Function，PDF），从而估计每个子信道错误概率的方法。这个方法适用与所有类型的二进制输入离散无记忆信道（Binary-input Discrete Memoryless Channel，B-DMC）。

高斯近似法

大多数研究场景下，信道编码的传输信道模型均为BAWGNC信道。在BAWGNC信道下，可以将密度进化中的对数似然比（Likelihood Rate，LLR）的概率密度函数用一组方差为均值2倍的高斯分布来近似，从而简化了对一维均值的计算，大大降低计算量，这种对DE(密度进化)的简化计算即为高斯近似。

本文转载自：
作者：Marshall
链接： https://marshallcomm.cn/2017/03/01/polar-code-1-summary/