matlab中的矩阵的基本运算命令
(2013-07-19 08:45:49)
1.1 矩阵的表示
1.2 矩阵运算
1.2.14 特殊运算
1．矩阵对角线元素的抽取
函数 diag
格式 X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。
2．上三角阵和下三角阵的抽取
函数 tril %取下三角部分
格式 L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
函数 triu %取上三角部分
格式 U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。
3．矩阵的变维
矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
(1)“：”变维
(2)Reshape函数变维
格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B
B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×…
B = reshape(A,[m n p…]) %同上
B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数
相同。
(5)复制和平铺矩阵
函数 repmat
格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。
B = repmat(A,[m n]) %与上面一致
B = repmat(A,[m n p…]) %B由m×n×p×…个A块平铺而成
repmat(A,m,n) %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。
1.3 矩阵分解
1.3.1 Cholesky分解
函数 chol
格式 R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。
1.3.2 LU分解
矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
函数 lu
格式 [L,U] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。
[L,U,P] = lu(X) %U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PX。
1.3.3 QR分解
将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
函数 qr
格式 [Q,R] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。
[Q,R,E] = qr(A) %求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。
[Q,R] = qr(A,0) %产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0) %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
R = qr(A) %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R = A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。
[C,R] = qr(A,b) %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c。
R = qr(A,0) %针对稀疏矩阵A的经济型分解
[C,R] = qr(A,b,0) %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
函数 qrdelete
格式 [Q,R] = qrdelete(Q,R,j) %返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解
函数 qrinsert
格式 [Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x) %在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x。
1.3.6 特征值分解
函数 eig
格式 d = eig(A) %求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。
d = eig(A,B) %A、B为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。
[V,D] = eig(A) %计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立。
[V,D] = eig(A,'nobalance') %当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。
[V,D] = eig(A,B) %计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足AV=BVD。
[V,D] = eig(A,B,flag) % 由flag指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的可能值为：'chol' 表示对B使用Cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。'qz' 表示使用QZ算法，这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。
说明 一般特征值问题是求解方程： 解的问题。广义特征值问题是求方程： 解的问题。
1.3.7 奇异值分解
函数 svd
格式 s = svd (X) %返回矩阵X的奇异值向量
[U,S,V] = svd (X) %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。
[U,S,V] = svd (X,0) %得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n×n。
1.4 线性方程的组的求解
我们将线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解，另一类是方程组求无穷解即通解。可以通过系数矩阵的秩来判断：
若系数矩阵的秩r=n(n为方程组中未知变量的个数)，则有唯一解；
若系数矩阵的秩r
线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。
1.4.1 求线性方程组的唯一解或特解(第一类问题)
这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；另一类是解大型稀疏矩阵 —— 迭代法。
1．利用矩阵除法求线性方程组的特解(或一个解)
方程：AX=b
解法：X=A\b
2．利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解
(1)LU分解：
LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式(行交换)和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。
则：A*X=b 变成L*U*X=b
所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。
命令 [L，U]=lu (A)
(2)Cholesky分解
若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即： 其中R为上三角阵。
方程 A*X=b 变成
所以
(3)QR分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR
方程 A*X=b 变形成 QRX=b
所以 X=R\(Q\b)
1.4.2 求线性齐次方程组的通解
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A•X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基(基础解系)。
格式 z = null % z的列向量为方程组的正交规范基，满足 。
% z的列向量是方程AX=0的有理基
1.4.3 求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。
因此，步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步
第二步：求AX=b的一个特解
第三步：求AX=0的通解
第四步：AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个特解。
1.6 秩与线性相关性
1.6.1 矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性
矩阵A的秩是矩阵A中最高阶非零子式的阶数；向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。
函数 rank
格式 k = rank(A) %返回矩阵A的行(或列)向量中线性无关个数
k = rank(A,tol) %tol为给定误差
1.6.2 求行阶梯矩阵及向量组的基
行阶梯使用初等行变换，矩阵的初等行变换有三条：
1．交换两行 (第i、第j两行交换)
2．第i行的K倍
3．第i行的K倍加到第j行上去
通过这三条变换可以将矩阵化成行最简形，从而找出列向量组的一个最大无关组，Matlab将矩阵化成行最简形的命令是rref或rrefmovie。
函数 rref或rrefmovie
格式 R = rref(A) %用高斯—约当消元法和行主元法求A的行最简行矩阵R
[R,jb] = rref(A) %jb是一个向量，其含义为：r = length(jb)为A的秩；A(:, jb)为A的列向量基；jb中元素表示基向量所在的列。
[R,jb] = rref(A,tol) %tol为指定的精度
rrefmovie(A) %给出每一步化简的过程
1.7 稀疏矩阵技术
1.7.1 稀疏矩阵的创建
函数 sparse
格式 S = sparse(A) %将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S。若A本身为稀疏矩阵，则返回A本身。
S = sparse(m,n) %生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵
S = sparse(i,j,s) %生成一个由长度相同的向量i，j和s定义的稀疏矩阵S，其中i，j是整数向量，定义稀疏矩阵的元素位置(i,j)，s是一个标量或与i，j长度相同的向量，表示在(i,j)位置上的元素。
S = sparse(i,j,s,m,n) %生成一个m×n的稀疏矩阵，(i,j)对应位置元素为si，m = max(i)且n =max(j)。
S = sparse(i,j,s,m,n,nzmax) %生成一个m×n的含有nzmax个非零元素的稀疏矩阵S，nzmax的值必须大于或者等于向量i和j的长度。
1.7.2 将稀疏矩阵转化为满矩阵
函数 full
格式 A=full(S) %S为稀疏矩阵，A为满矩阵。
1.7.3 稀疏矩阵非零元素的索引
函数 find
格式 k = find(x) %按行检索X中非零元素的点，若没有非零元素，将返回空矩阵。
[i,j] = find(X) %检索X中非零元素的行标i和列标j
[i,j,v] = find(X) %检索X中非零元素的行标i和列标j以及对应的元素值v
1.7.4 外部数据转化为稀疏矩阵
函数 spconvert
格式 S=spconvert(D) %D是只有3列或4列的矩阵
说明：先运用load函数把外部数据(.mat文件或.dat文件)装载于MATLAB内存空间中的变量T；T数组的行维为nnz或nnz+1，列维为3(对实数而言)或列维为4(对复数而言)；T数组的每一行(以[i,j,Sre,Sim]形式)指定一个稀疏矩阵元素。
1.7.5 基本稀疏矩阵
1．带状(对角)稀疏矩阵
函数 spdiags
格式 [B,d] = spdiags(A) %从矩阵A中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩阵B中，向量d表示非零元素的对角线位置。
B = spdiags(A,d) %从A中提取由d指定的对角线元素，并存放在B中。
A = spdiags(B,d,A) %用B中的列替换A中由d指定的对角线元素，输出稀疏矩阵。
A = spdiags(B,d,m,n) %产生一个m×n稀疏矩阵A，其元素是B中的列元素放
在由d指定的对角线位置上。
2．单位稀疏矩阵
函数 speye
格式 S = speye(m,n) %生成m×n的单位稀疏矩阵
S = speye(n) %生成n×n的单位稀疏矩阵
3．稀疏均匀分布随机矩阵
函数 sprand
格式 R = sprand(S) %生成与S具有相同稀疏结构的均匀分布随机矩阵
R = sprand(m,n,density) %生成一个m×n的服从均匀分布的随机稀疏矩阵，非零元素的分布密度是density。
R = sprand(m,n,density,rc) %生成一个近似的条件数为1/rc、大小为m×n的均匀分布的随机稀疏矩阵。
4．稀疏正态分布随机矩阵
函数 sprandn
格式 R = sprandn(S) %生成与S具有相同稀疏结构的正态分布随机矩阵。
R = sprandn(m,n,density) %生成一个m×n的服从正态分布的随机稀疏矩阵，非零元素的分布密度是density。
R = sprandn(m,n,density,rc) %生成一个近似的条件数为1/rc、大小为m×n的均匀分布的随机稀疏矩阵。
5．稀疏对称随机矩阵
函数 sprandsym
格式 R = sprandsym(S) %生成稀疏对称随机矩阵，其下三角和对角线与S具有相同的结构，其元素服从均值为0、方差为1的标准正态分布。
R = sprandsym(n,density) %生成n×n的稀疏对称随机矩阵，矩阵元素服从正态分布，分布密度为density。
R = sprandsym(n,density,rc) %生成近似条件数为1/rc的稀疏对称随机矩阵
R = sprandsym(n,density,rc,kind) %生成一个正定矩阵，参数kind取值为kind=1表示矩阵由一正定对角矩阵经随机Jacobi旋转得到，其条件数正好为1/rc；kind=2表示矩阵为外积的换位和，其条件数近似等于1/rc；kind=3表示生成一个与矩阵S结构相同的稀疏随机矩阵，条件数近似为1/rc ，density被忽略。
1.7.6 稀疏矩阵的运算
1．稀疏矩阵非零元素的个数
函数 nnz
格式 n = nnz(X) %返回矩阵X中非零元素的个数
2．稀疏矩阵的非零元素
函数 nonzeros
格式 s = nonzeros(A) %返回矩阵A中非零元素按列顺序构成的列向量
3．稀疏矩阵非零元素的内存分配
函数 nzmax
格式 n = nzmax(S) %返回非零元素分配的内存总数n
4．稀疏矩阵的存贮空间
函数 spalloc
格式 S = spalloc(m,n,nzmax) %产生一个m×n阶只有nzmax个非零元素的稀疏矩阵，这样可以有效减少存贮空间和提高运算速度。
5．稀疏矩阵的非零元素应用
函数 spfun
格式 f = spfun('function',S) %用S中非零元素对函数'function'求值，如果'function'不是对稀疏矩阵定义的，同样可以求值。
6．把稀疏矩阵的非零元素全换为1
函数 spones
格式 R = spones(S) %将稀疏矩阵S中的非零元素全换为1
1.7.7 画稀疏矩阵非零元素的分布图形
函数 spy
格式 spy(S) %画出稀疏矩阵S中非零元素的分布图形。S也可以是满矩阵。
spy(S,markersize) % markersize为整数，指定点阵大小。
spy(S,'LineSpec') %'LineSpec'指定绘图标记和颜色
spy(S,'LineSpec',markersize) %参数与上面相同
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