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那么必然存在一个确定的数α产生了实数系统R的这个分割（δ1,δ2）,我称这个α为x的上限，
它总是有限的。类似的方式，作为变量x的变化的结果，系统IR(这里用IR表示实数域）的第
二 个 分 割 （ B 1 ， B 2 ) 产 生 了 。 在 x 变 化 过 程 中 ， 最 终 比 x 小 的 那 些 数 β 1 ( 例 如 , 二个分割（B_{1}，B_{2} )产生了。在x变化过程中，最终比x小的那些数β_{1}(例如,二个分割（B1，B2)产生了。在x变化过程中，最终比x小的那些数β1(例如,
a − δ ) 分 配 给 B 1 ， 每 个 其 他 的 数 β 2 ， 分 配 给 B 2 , 有 这 样 的 特 性 ： x 永 远 不 会 最 a−δ)分配给B_{1}，每个其他的数β_{2}，分配给B_{2},有这样的特性：x永远不会最a−δ)分配给B1，每个其他的数β2，分配给B2,有这样的特性：x永远不会最
终 大 于 这 些 β 2 ； 因 此 ， x 无 穷 多 次 变 得 小 于 β 2 ， 产 生 这 个 分 割 的 β 我 称 之 为 终大于这些β2；因此，x无穷多次变得小于β2，产生这个分割的β我称之为终大于这些β2；因此，x无穷多次变得小于β2，产生这个分割的β我称之为
x的下限值。α和β有这样的特征：若ϵ是任意小的正数，最终会有x<α+ϵ和x>β−ϵ而不会
发 生 最 终 x < α − ϵ 和 x > β + ϵ （ 译 注 ： 因 为 α − ϵ 属 于 △ 1 ， 若 最 终 x < α − ϵ ， 发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ（译注：因为α−ϵ属于△_{1}，若最终x<α−ϵ，发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ（译注：因为α−ϵ属于△1，若最终x<α−ϵ，
则α−ϵ属于△ 2 △_{2}△2，矛盾；β+ϵ属于B 2 B_{2}B2，若x最终>β+ϵ，则β+ϵ属于B 1 B_{1}B1，矛盾）。这样就只有
两种可能，若α和β是两个不相同的数，那么就只能是α>β，因为α 2 \alpha_{2}α2持续>β 1 β_{1}β1；变量x会
左右摇摆（根据前述，“不会发生最终x<α−ϵ和x>β+ϵ”，而β+ϵ和α−ϵ的距离为α-β-2ϵ），
不管这个过程如何进行，最终会出现x的变动值超过(α−β)−2ϵ。这与我一开始的假设矛盾。
这样就只剩下最后一种情况，α=β，而且我们已经发现，不管任意指定的ϵ多么
小，我们最终总能得到x<α+ϵ和x>β−ϵ ,x靠近极限值α。证毕。
这些例子足以表明连续性法则和无穷小分析之间的联系。
戴德金定理-我自己做的中文翻译第13页
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