LCMV(线性约束最小方差)实际上是MVDR(最小方差无畸变响应)的一种扩展，将MVDR里只对期望方向做约束，变为也对指定的干扰方向加约束。
依然使用MVDR严谨推导里的模型，空间中存在期望信号x d ( t ) x_{d}(t)xd(t)其导向矢量为a ( θ d ) a\left(\theta_{d}\right)a(θd),以及M-1个干扰信号x j ( t ) x_{j}(t)xj(t)其导向矢量为a ( θ j ) a\left(\theta_{j}\right)a(θj),阵列个数为N
LCMV要求解的问题可以写为：
{ min W H R W s.t.A H ( θ ) W = g \left\{\begin{array}{c} \min W^{H} R W \\ \text {s.t.A}^{H}(\theta) W=g \end{array}\right.{minWHRWs.t.AH(θ)W=g
其中A ( θ ) = [ a ( θ d ) , a ( θ j ) , … . a ( θ M − 1 ) ] N × M A(\theta)=\left[a\left(\theta_{d}\right), a\left(\theta_{j}\right), \ldots . a\left(\theta_{M-1}\right)\right]_{N \times M}A(θ)=[a(θd),a(θj),….a(θM−1)]N×M
g = [ 1 0 ⋯ 0 ] M × 1 g=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \cdots \\ 0\end{array}\right]_{M \times 1}g=⎣⎢⎢⎡10⋯0⎦⎥⎥⎤M×1
构造拉格朗日方程：
L ( ω ) = ω H R ω − ( ω H A ( θ ) − g ) λ ⃗ L(\omega)=\omega^{\mathrm{H}} \boldsymbol{R} \omega-\left(\omega^{\mathrm{H}} \boldsymbol{A(\theta)}-g\right)\vec{\lambda}L(ω)=ωHRω−(ωHA(θ)−g)λ
得：
∂ L ( w ) ∂ w H = R w − A ( θ ) λ ⃗ = 0 w o p t = R − 1 A ( θ ) λ ⃗ \begin{array}{l} \frac{\partial L(w)}{\partial w^{H}}=R w- A(\theta) \vec{\lambda}=0 \\ w_{o p t}=R^{-1} A(\theta) \vec{\lambda} \end{array}∂wH∂L(w)=Rw−A(θ)λ=0wopt=R−1A(θ)λ
两端同乘约束：
A H ( θ ) w o p t = A H ( θ ) R − 1 A ( θ ) λ ⃗ g = A H ( θ ) R − 1 A ( θ ) λ ⃗ λ ⃗ = ( A H ( θ ) R − 1 A ( θ ) ) − 1 g \begin{array}{l} A^{H}(\theta) w_{o p t}=A^{H}(\theta) R^{-1} A(\theta) \vec{\lambda} \\ g=A^{H}(\theta) R^{-1} A(\theta) \vec{\lambda} \\ \vec{\lambda}=\left(A^{H}(\theta) R^{-1} A(\theta)\right)^{-1} g \end{array}AH(θ)wopt=AH(θ)R−1A(θ)λg=AH(θ)R−1A(θ)λλ=(AH(θ)R−1A(θ))−1g
将λ \lambdaλ带入w o p t w_{opt}wopt得
w o p t = R − 1 A ( θ ) ( A H ( θ ) R − 1 A ( θ ) ) − 1 g w_{o p t}=R^{-1} A(\theta)\left(A^{H}(\theta) R^{-1} A(\theta)\right)^{-1} gwopt=R−1A(θ)(AH(θ)R−1A(θ))−1g
推导完毕。