和的平方与平方的和之差

前十个自然数的平方的和为：

$1^2+2^2+3^2+\cdots +10^2=385$

而前十个自然数和的平方为：

$(1+2+3+\cdots +10{)}^2=55^2=3025$

两者的差为3025−385=2640，求前一百个自然数的和的平方与平方的和之间的差值。

分析：

此题可以直接使用求和公式求解，则：

$S(n)=(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)(3n+2)}{12}$

代入$S_{(100)}$可以直接算出结果，代码如下：

def main(n):
    ans = n * (n - 1) * (n + 1) * (3 * n + 2) / 12
    return int(ans)


print(main(100))

运行结果：25164150
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平方和&立方和公式推导

平方和公式推导

${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

证法一（归纳法）：

n = 1：$1=\frac{1(1+1)(2\times 1+1)}{6}$

n = 2：$1+2^2=\frac{2(2+1)(2\times 2+1)}{6}=5$

$\cdots \cdots$

n = k($k\in Z，k\ge 2$)：${\sum }_{i=1}^k{i}^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

n = k+1：
$$\begin{array}{rl}(\sum _{i=1}^{k+1}{i}^2)& =(\sum _{i=1}^k{i}^2)+(k+1{)}^2\\ & =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1{)}^2\\ & =\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\\ & =\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\ & =\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$
也满足公式。

根据数学归纳法，对于一切自然数，$({\sum }_{i=1}^n{i}^2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$成立。

证法二：

利用恒等式$(n+1{)}^3=n^3+3n^2+3n+1$
$$\begin{array}{rl}(n+1{)}^3-n^3& =3n^2+3n+1\\ n^3-(n-1{)}^2& =3(n-1{)}^2+3(n-1)+1\\ & \dots \dots \\ 2^3-1^3& =3\times 1^2+3\times 1+1\end{array}$$
两边求和得：
$$\begin{array}{rl}(n+1{)}^3-1& =3(\sum _{i=1}^n{i}^2)+3(1+2+\dots \dots +n)+n\\ \sum _{i=1}^n{i}^2& =\frac{((n+1{)}^3-1)-3n(n+1)/2-n}{3}\\ & =\frac{(2n^3+6n^2+6n)-3n^2-3n-2n}{6}\\ & =\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

证法三：

利用恒等式$n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)}{3}$
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{i}^2& =1\times (2-1)+2(3-1)+\dots \dots +n(n+1-1)\\ & =1\times 2+2\times 3+\dots \dots +n(n+1)-(1+2+\dots \dots +n)\\ & =\frac{1\times 2\times 3-0\times 1\times 2}{3}+\frac{2\times 3\times 4-1\times 2\times 3}{3}+\dots \dots \\ & +\frac{n\times (n+1)\times (n+2)-(n-1)\times n\times (n+1)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n\times (n+1)\times (n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n\times (n+1)\times 2(n+2)-3n(n+1)}{6}\\ & =\frac{n\times (n+1)\times (2n+4-3)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

证法四(排列组合法)：

首先，证明组合$C_{n+1}^2=C_1^1+C_2^1+\dots \dots +C_n^1$

从n+1个里面选2个的情形：

1. 假设先选第1个(其它也可以，仅为看着方便)，剩下从n个里面选1个，即$C_n^1$；
2. 假设选第2个，同时不能再选第1个(会重复)，剩下从n-1个里面选1个，即$C_{n-1}^1$；
3. ……
4. 假设选第n个，同时不能再选前面的，剩下从最后1个里面选1个，即$C_1^1$

得到证明。

同样的方法，可以证明组合$C_{n+1}^3=C_2^2+C_3^2+\dots \dots +C_n^2$

由于$k^2=k(k-1)+k=2C_k^2+C_k^1$

当k = 1时，理论上不可能从1个中挑出2个，可以认为$C_1^2=0$
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{i}^2& =2(C_2^2+C_3^2+\dots \dots +C_n^2)+(C_1^1+C_2^1+\dots \dots +C_n^1)\\ & =2C_{n+1}^3+C_{n+1}^2\\ & =2\times \frac{(n+1)n(n-1)}{3\times 2\times 1}+\frac{(n+1)n}{2\times 1}\\ & =\frac{(n+1)n(2n-2+3)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

证法五：

利用恒等式$n^2=\frac{(2n-1+1)\times n}{2}=1+3+5+\dots \dots +(2n-1)$
$$\begin{array}{rl}& 1^2=1\\ & 2^2=1+3\\ & 3^2=1+3+5\\ & \dots \dots \\ & n^2=1+3+5+\dots \dots +(2n-1)\end{array}$$
等式两边同时求和得：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{i}^2& =n\times [1+3+5+\dots \dots +(2n-1)]-[0\times 1+1\times 3+2\times 5+\dots \dots +(n-1)(2n-1)]\\ & =n\times n^2-\sum _{i=1}^n[(i-1)(2i-1)]\\ & =n^3-\sum _{i=1}^n[(i-1)(2(i-1)+1)]\\ & =n^3-2\sum _{i=1}^n(i-1{)}^2-\sum _{i=1}^n(i-1)\\ & =n^3-2\times ((\sum _{i=1}^n{i}^2)-n^2)-\frac{n(n-1)}{2}\\ 两边移动后：& \\ 3\times \sum _{i=1}^n{i}^2& =n^3+2n^2-\frac{n(n-1)}{2}\\ \sum _{i=1}^n{i}^2& =\frac{2n^3+4n^2-n^2+n}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$
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立方和公式推导

${\sum }_{i=1}^n{i}^3=({\sum }_{i=1}^n{)}^2$

证法一：(归纳法)

n = 1：$1^3=1^2$

n = 2：$1^3+2^3=(1+2{)}^2=9$

n = 3：$1^3+2^3+3^3=(1+2+3{)}^2=36$

……

n = k($k\in Z，k\ge 2$)：${\sum }_{i=1}^k{i}^3=({\sum }_{i=1}^{k}i{)}^2=(\frac{k(k+1)}{2}{)}^2$

n = k+1：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}{i}^3& =(\sum _{i=1}^k{i}^3)+(k+1{)}^3\\ & =(\frac{k(k+1)}{2}{)}^2+(k+1{)}^3\\ & =(\frac{(k+1)}{2}{)}^2\times (k^2+4(k+1))\\ & =(\frac{(k+1)(k+2)}{2}{)}^2=(\sum _{i=1}^{k+1}i{)}^2\end{array}$$
也满足公式。

根据数学归纳法，对于一切自然数，${\sum }_{i=1}^n{i}^3=({\sum }_{i=1}^n{)}^2$成立。

证法二：

利用恒等式$(n+1{)}^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1$
$$\begin{array}{rl}(n+1{)}^4-n^4& =4n^3+6n^2+4n+1\\ n^4-(n-1{)}^4& =4(n-1{)}^3+6(n-1{)}^2+4(n-1)+1\\ & \dots \dots \\ 2^4-1^4& =4\times 1^3+6\times 1^2+4\times 1+1\end{array}$$
两边求和得：
$$\begin{array}{rl}(n+1{)}^4-1& =4(\sum _{i=1}^n{i}^3)+6(\sum _{i=1}^n{i}^2)+4(\sum _{i=1}^{n}i)+n\\ \sum _{i=1}^n{i}^3& =\frac{((n+1{)}^4-1)-6\times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\times \frac{n(n+1)}{2}-n}{4}\\ & =\frac{n(n+2)(n^2+2n+2)-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n}{4}\\ & =\frac{n(n^3+4n^2+6n+4-2n^2-3n-1-2n-2-1)}{4}\\ & =\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=(\sum _{i=1}^{n}i{)}^2\end{array}$$

证法三：

$$\begin{array}{rl}1& =0+1\\ 2+3+4& =1+2^3=9\\ 5+6+7+8+9& =2^3+3^3=35\\ & \dots \dots \end{array}$$

可以证明：
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=m^2+1}^{(m+1{)}^2}i& =\frac{((m+1{)}^2-m^2)((m+1{)}^2+m^2+1)}{2}\\ & =2m^3+3m^2+3m+1\\ & =m^3+(m^3+3m^2+3m+1)\\ & =m^3+(m+1{)}^3\end{array}$$
等式两边分别从1加到m：
$$\begin{array}{rl}1+(2+3+4)+(5+6+7+8+9)+\dots \dots +\sum _{i=m^2+1}^{(m+1{)}^2}i& =2\times (1^3+2^3+3^3+\dots \dots +m^3)+(m+1{)}^3\\ (\sum _{i=1}^{(m+1{)}^2}i)-(m+1{)}^3& =2\sum _{i=1}^m{i}^3\\ \sum _{i=1}^m{i}^3& =\frac{\frac{(m+1{)}^2((m+1{)}^2+1)}{2}-(m+1{)}^3}{2}\\ & =\frac{(m+1{)}^2((m+1{)}^2+1-2(m+1))}{4}\\ & =(\frac{m(m+1)}{2}{)}^2=(\sum _{i=1}^{m}i{)}^2\end{array}$$

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