线性代数学习-02-01.线性方程的解

向量和线性方程

假设有线性方程组（方程中的未知数前都是乘以的数字，称为线性方程）:
$x-2y=1$
$3x+2y=11$

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线的交点即为方程组的解

column picture
将线性方程组转化为向量方程(vector equation):
$x\begin{bmatrix}{1}\\{3}\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}{-2}\\{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{11}\end{bmatrix}=b$
问题就转化为了找到左侧两个向量(coloumn vector)的组合(linear combination)，来得到右侧向量

scalar multiplication
纯量乘法指的是标量乘以向量
$3\begin{bmatrix}{1}\\{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}\\{9}\end{bmatrix}$

vector addition
$\begin{bmatrix}{3}\\{9}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{-2}\\{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{11}\end{bmatrix}$

linear combination
向量方程的左侧称为linear combination
$3\begin{bmatrix}{1}\\{3}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{-2}\\{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{11}\end{bmatrix}$

coefficient matrix
系数矩阵
$A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{3}&{2}\end{bmatrix}$

maxtrix equation
矩阵方程$Ax=b$
$\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{3}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{11}\end{bmatrix}$

maxtrix-vector multiplication:
$\begin{bmatrix}{1}&{-2}\\{3}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}\\{11}\end{bmatrix}$

矩阵方程形式

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假设有如下三元方程组:
$x+2y+3z=6$
$2x+5y+2z=4$
$6x-3y+z=2$
row picture表示三个面交于一点

column picture
表示表示组合三个列向量得到向量(6,4,2)
$x\begin{bmatrix}{1}\\{2}\\{6}\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}{2}\\{5}\\{-3}\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}{3}\\{2}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{6}\\{4}\\{2}\end{bmatrix}$

矩阵方程形式$Ax=b$
$\begin{bmatrix}{1}&{2}&{3}\\{2}&{5}&{2}\\{6}&{-3}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{6}\\{4}\\{2}\end{bmatrix}$
A:系数矩阵
b:列向量,分量为1,11
x:列向量,分量为x,y

$Ax$的计算两种方式:
1.行乘法:$Ax=\begin{bmatrix}{(row1)}&{.}&{x}\\{(row2)}&{.}&{x}\\{(row3)}&{.}&{x}\end{bmatrix}$
比如第一行的dot products结果:$(1,2,3).(0,0,2)=6$
如果有:

$$Ax=\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{\cdots}&{a_{3n}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x_1}\\{x_2}\\{x_n} \end{bmatrix}$$
$a_{ij}$表示矩阵第i行第j列的”component”,也记做 $A(i,j)$
则第i行的dot products结果: $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+...+a_{in}x_n$
也就是: $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j$

2.列乘法:$Ax=x(column1)+y(column2)+z(column3)$
$x\begin{bmatrix}{1}\\{2}\\{6}\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}{2}\\{5}\\{-3}\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}{3}\\{2}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{6}\\{4}\\{2}\end{bmatrix}$

单位矩阵(identity matrix)

$I\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}$
$Ix=x$