@[TOC]L1 和 L2正则化

对L1 和 L2正则化可以抑制训练过拟合的理解

L1范数和L2范数经常被用于损失函数中，用来防止网络训练过程的过拟合问题。

一、几种范数

设任一组向量为$x=（2，1，-1，0，2，3）$

1. 0范数($l_0$)

$l_0$是指一个向量中$x_i\ne 0$的个数。即$\parallel x{\parallel }_0=5$。

2. 1范数($l_1$)

$l_1$是指一个向量中$x_i$与0之间的曼哈顿距离，即：$\parallel x{\parallel }_1={\sum }_{i=1}^n\mid x_i\mid$。$\parallel x{\parallel }_1=2+1+1+0+2+3=9$.

2. 2范数($l_2$)

$l_2$是指一个向量中$x_i$与0之间的欧式范数，即：$\parallel x{\parallel }_2=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}$。
$\parallel x{\parallel }_2=\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2+0^2+2^2+3^2}=\sqrt{19}$.

二、正则化的目的

正则化的目的：通过控制模型的复杂度，来抑制模型过拟合的问题。
例如：现在有一组训练数据，我们可以根据不同的模型拟合得到不同的曲线，如下图所示，左侧假设模型为（模型1）：$y=w_5{x}^5+w_4{x}^4+w_3{x}^3+w_2{x}^2+w_{1}x+w_0$，右侧假设模型为（模型2）：$y=w_{1}x+w_0$。结合下图我们可以看到以下几点：

1. 模型1的复杂度>模型2的复杂度；
2. 在训练模型1具有更小的误差，拟合效果好；
3. 模型复杂度越高，模型的泛化能力越差。（表现在：用测试数据检测模型时，模型1的误差>模型2的误差，也就是存在了过拟合问题）。

因此，我们在进行网络训练时，就希望能通过降低模型的复杂度来抑制模型的过拟合问题，尽管这样做会损失一部分精度。

这里面也有一个稀疏性的问题，模型的复杂度越低，越稀疏。
稀疏指的是参或者数据中0的个数，0越多，参数或数据越稀疏
稀疏的优点：

1. 特征选择 能实现特征的自动选择
   一般来说，$x_i$的大部分元素（也就是特征）是和最终的输出$y$无关或不提供任何有效的信息，在最小化目标函数时，考虑$x_i$的这些额外特征，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会干扰对正确$y$的预测。稀疏性规划算子的引入就是为了完成特征的自主选择，使哪些无用的特征对应的权值为0.
2. 可解释性 能够根据非0值来说明哪些参数对输出结果产生影响。

如何来降低模型的复杂度呢？
一般情况下，我们可以通过在损失函数中添加惩罚项，具体表达式如：
$F(w_i,x,y)=J(w_i,x,y)+\alpha \Omega (w)$。
$J$为损失函数，$\Omega (w)$为惩罚项，$w$为权重矩阵，$x$为样本，$y$为标签，$\alpha$为系数。
这里的惩罚项一般为$l_1$范数和$l_2范数$。

三、为什么$l_1$和$l_2$可以防止过拟合呢？

$l_1$范数：

机器学习的目的：获得最好的参数$w$，并让模型 在训练、测试集上均表现良好，当模型复杂时，$w$较多，于是过拟合现象，为了降低模型复杂度，可以考虑适当减少$w$数目。
自然可以想到，让$w=(w_1,w_2,...,w_n{)}^T$中的某些$w_i=0$。
限制$w_i\ne 0$元素的个数，可以利用$l_1$范数表示，则可以构建优化函数：
$\{\begin{array}{c}minJ(w_i,x,j)\\ s.t.\parallel w{\parallel }_1⩽C\end{array}$
然后通过构建拉格朗日函数进行优化求解，即：拉格朗日函数： $F(w,\alpha )=J(w_i,x,y)+\alpha \parallel w{\parallel }_1$
通过求解：$\{\begin{array}{c}\frac{\partial L(w,\alpha )}{\partial w}=0\\ \frac{\partial F(w,\alpha )}{\partial \alpha }=0\end{array}$
就可以看出加入$l_1$范数可以减少模型复杂度

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