傅里叶展开
最简单的周期函数 随时变化的正弦信号：
f ( t ) = A sin ( ω t + ψ ) f(t)=A\sin(\omega t+\psi)f(t)=Asin(ωt+ψ)
任意一个周期函数都可以表示为正弦函数线性叠加：
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n sin ( n ω t + ψ n ) f(t)=A_0+\sum^\infty_{n=1}A_n\sin(n\omega t+\psi_n)f(t)=A0+n=1∑∞Ansin(nωt+ψn)
由于 ψ n \psi_nψn 为常数 A n A_nAn 也是常数，将常数项整合到一起：
A n sin ( n ω t + ψ n ) = A n sin ψ n cos ( n ω t ) + A n cos ψ n sin ( n ω t ) A_n\sin(n\omega t+\psi_n)=A_n\sin\psi_n\cos(n\omega t)+A_n\cos\psi_n\sin(n\omega t)Ansin(nωt+ψn)=Ansinψncos(nωt)+Ancosψnsin(nωt)
记 a n = A n sin ψ n a_n=A_n\sin\psi_nan=Ansinψn， b n = A n cos ψ n b_n=A_n\cos\psi_nbn=Ancosψn 得到如下三角函数形式：
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( n ω t ) + b n sin ( n ω t ) ] = ω = 2 π / T A 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( 2 π n T t ) + b n sin ( 2 π n T t ) ] \begin{aligned} f(t)&=A_0+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)] \\[4ex] &\xlongequal{\omega={2\pi}/T}A_0+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)] \end{aligned}f(t)=A0+n=1∑∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]ω=2π/TA0+n=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]
三角函数正交性
三角函数在一个周期内积分为0
三角函数系：1，cos x \cos xcosx，sin x \sin xsinx， cos 2 x \cos 2xcos2x，sin 2 x \sin 2xsin2x，……，cos n x \cos nxcosnx，sin n x \sin nxsinnx
若一个三角函数系中任意两个不同函数相乘，在[ − π , π ] [-\pi,\pi][−π,π]上积分为0，称这个三角函数系在区间上正交
求傅里叶级数系数
对傅里叶展开式在 [ 0 , T ] [0,T][0,T] 上求积分：
∫ 0 T f ( t ) d t = ∫ 0 T A 0 d t + ∫ 0 T ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( 2 π n T t ) + b n sin ( 2 π n T t ) ] d t = ∫ 0 T A 0 d t + 0 = T A 0 \begin{aligned} \int^T_0f(t)\mathrm dt & = \int^T_0A_0\mathrm dt+\int^T_0\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)]\mathrm dt \\[4ex] &=\int^T_0A_0\mathrm dt+0 \\[4ex] &=T A_0 \end{aligned}∫0Tf(t)dt=∫0TA0dt+∫0Tn=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]dt=∫0TA0dt+0=TA0
解得
A 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t A_0=\frac1T\int^T_0f(t)\mathrm dtA0=T1∫0Tf(t)dt
对傅里叶展开式两边同时乘以 cos ( 2 π k T t ) \cos(\frac{2\pi k}T t)cos(T2πkt) 后在 [ 0 , T ] [0,T][0,T] 上积分：
∫ 0 T f ( t ) cos ( 2 π k T t ) d t = ∫ 0 T A 0 cos ( 2 π k T t ) d t + ∫ 0 T ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( 2 π n T t ) + b n sin ( 2 π n T t ) ] cos ( 2 π k T t ) d t = 0 + ∑ n = 1 ∞ [ ∫ 0 T a n cos ( 2 π n T t ) cos ( 2 π k T t ) d t + ∫ 0 T b n sin ( 2 π n T t ) cos ( 2 π k T t ) d t ] = ∫ 0 T a k cos 2 ( 2 π k T t ) d t + 0 = a k 2 ∫ 0 T [ 1 + cos ( 2 2 π k T t ) ] d t = a k 2 T \begin{aligned} \int^T_0f(t)\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt & = \int^T_0A_0\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt+\int^T_0\sum^\infty_{n=1}\left[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)\right]\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt \\[4ex] &=0+\sum^\infty_{n=1}\left[\int^T_0a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt+\int^T_0b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)\cos(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt\right] \\[4ex] &=\int^T_0a_k\cos^2(\frac{2\pi k}T t)\mathrm dt + 0 \\[4ex] &=\frac{a_k}2\int^T_0[1+\cos(2\frac{2\pi k}T t)]\mathrm dt \\[4ex] &=\frac{a_k}2T \end{aligned}∫0Tf(t)cos(T2πkt)dt=∫0TA0cos(T2πkt)dt+∫0Tn=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]cos(T2πkt)dt=0+n=1∑∞[∫0Tancos(T2πnt)cos(T2πkt)dt+∫0Tbnsin(T2πnt)cos(T2πkt)dt]=∫0Takcos2(T2πkt)dt+0=2ak∫0T[1+cos(2T2πkt)]dt=2akT
解得：
a n = 2 T ∫ 0 T cos ( 2 π n T t ) f ( t ) d t a_n=\frac 2T\int^T_0\cos(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dtan=T2∫0Tcos(T2πnt)f(t)dt
同理可以解得 b n b_nbn：
b n = 2 T ∫ 0 T sin ( 2 π n T t ) f ( t ) d t b_n=\frac 2T\int^T_0\sin(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dtbn=T2∫0Tsin(T2πnt)f(t)dt
总结一下
f ( t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( 2 π n T t ) + b n sin ( 2 π n T t ) ] f(t)=A_0+\sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(\frac{2\pi n}T t)+b_n\sin(\frac{2\pi n}T t)]f(t)=A0+n=1∑∞[ancos(T2πnt)+bnsin(T2πnt)]
A 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t = 1 2 a 0 A_0=\frac1T\int^T_0f(t)\mathrm dt=\frac 12a_0A0=T1∫0Tf(t)dt=21a0
a n = 2 T ∫ 0 T cos ( 2 π n T t ) f ( t ) d t a_n=\frac 2T\int^T_0\cos(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dtan=T2∫0Tcos(T2πnt)f(t)dt
b n = 2 T ∫ 0 T sin ( 2 π n T t ) f ( t ) d t b_n=\frac 2T\int^T_0\sin(\frac{2\pi n}Tt)f(t)\mathrm dtbn=T2∫0Tsin(T2πnt)f(t)dt