0 笔记说明

来源于【机器学习】【白板推导系列】【合集 1～23】，我在学习时会跟着up主一起在纸上推导，博客内容为对笔记的二次书面整理，根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。

注意：本笔记主要是为了方便自己日后复习学习，而且确实是本人亲手一个字一个公式手打，如果遇到复杂公式，由于未学习LaTeX，我会上传手写图片代替（手机相机可能会拍的不太清楚，但是我会尽可能使内容完整可见），因此我将博客标记为【原创】，若您觉得不妥可以私信我，我会根据您的回复判断是否将博客设置为仅自己可见或其他，谢谢！

本博客为（系列三）的笔记，对应的视频是：【(系列三) 线性回归1-最小二乘法及其几何意义】、【(系列三) 线性回归2-最小二乘法-概率视角-高斯噪声-MLE】、【(系列三) 线性回归3-正则化-岭回归-频率角度】、【(系列三) 线性回归4-正则化-岭回归-贝叶斯角度】。

下面开始即为正文。

1 最小二乘法求线性回归模型

D = {(x₁, y₁), (x₂, y₂),…,(x_N, y_N)}，x_i为p维向量，即x_i∈R^p，y_i是一维实数，即y_i∈R，i=1,2…N。令矩阵X = (x₁,x₂,…,x_N)^T，则X为N×p阶矩阵；Y = (y₁,y₂,…,y_N)^T，则Y为N×1阶矩阵。

设线性回归的函数为f(w)=w^Tx，其中w = (w₁,w₂,…,w_p)^T。f(w)的平方损失函数（最小二乘法）为：

在进行下一步之前给出求导公式：

继续推：

则w的最大似然估计就是上图中的最后一行。

2 几何意义

2.1 平方损失函数的几何意义

上图中，横纵坐标分别为X与Y，直线为f(w)=w^Tx。为了方便画图和解释，假设数据集有三个点，即D = {(x₁, y₁), (x₂, y₂),(x₃, y₃)}。将x₁,x₂,x₃代入f(w)=w^Tx，得到线性回归模型的三个结果：w^Tx₁,w^Tx₂,w^Tx₃。

则平方损失函数的几何意义就是所有【实际值与模型预测值差值】的平方和。

2.2 用几何意义求线性回归模型

现在换一种方式，将线性回归的函数设为f(β)=x^Tβ，视x^T为函数的系数。为了方便画图和解释，假设p=2，即x_i为2维向量，即x_i∈R²，i=1,2…N，则第i个样本的x_i=(x_i1,x_i2)，Y=(y₁,y₂,…y_N)，数据集D = {(x₁, y₁), (x₂, y₂),…,(x_N, y_N)}。规定N>>p=2（其实样本数N本来就远远大于样本维度p，只是这里设p=2罢了），于是所有数据x_i形成了二维子空间（应该是p维子空间，只是这里p=2罢了）。

如上图，Y一般不在所有数据x_i形成的二维子空间中（如果在的话，线性回归的函数线就是一条直线了，这条线还可以拟合所有数据，但是绝大部分情况下不是这样的；而且应该是p维子空间，只是这里p=2罢了），所以要计算的就是向量Y到所有数据x_i形成的二维子空间中的投影（因为Y在子空间上的投影离向量Y距离最短）。

Y的投影既然在所有数据x_i形成的二维子空间上，则Y的投影一定可以由x_i的线性组合表示，设Y的投影为xβ（我这里有疑问，为什么不是x^Tβ，我没搞清楚），则二维空间的法向量为Y-xβ。而x属于这个二维空间的随机变量，则有【Y-xβ⊥x】，根据向量的垂直与点积运算得到：

注意到没有，在【1 最小二乘法求线性回归模型】一节求得的w与上图的β一模一样？！为什么？

因为两个模型分别为f(w)=w^Tx，f(β)=x^Tβ，其实两者算出的值均为一维实数，而且(x^Tβ)^T=β^Tx=w^Tx，这样的话w与β一模一样就很正常了。

3 从概率视角看最小二乘法

下面从概率视角来讨论最小二乘法。

样本用x表示，是一个随机变量，y为样本的标签值，所有样本之间独立同分布。设噪声数据为ε，且ε～N(0,σ²)，y=f(w)+ε=w^Tx+ε，则有【y|x;w～N(w^Tx,σ²)】。根据此文【机器学习-白板推导-系列（二）笔记：高斯分布与概率】中【3 高斯分布的概率密度函数】一节的第二个图片可得y|x;w的概率密度函数如下：

现在求w_MLE。设似然函数L(w)为：

则w_MLE为：

仔细看，上图框住的不就是平方损失函数的表达式吗？！

再看本节给出的条件——设噪声数据为ε，且ε～N(0,σ²)，也就是说【线性模型参数的最小二乘估计LSE】等价于【线性模型参数的极大似然估计MLE，同时噪声ε～N(0,σ²)】。

4 正则化方法：岭回归

正则化是解决模型过拟合问题的方法之一。根据【1 最小二乘法求线性回归模型】一节，线性回归模型的平方损失函数为：

通过MLE求得的w为：

现在给损失函数L(w)加一个正则化项λp(w)，令目标函数J(w)=L(w)+λp(w)，其中λ为超参数（超参数是在开始学习过程之前设置的参数，其他参数的值通过训练得出），p(w)称为罚项penalty。有两种p(w)：

（1）L1范数正则项，LASSO，Least Absoulute Shrinkage and Selection Operator，最小绝对收缩选择算子。p(w)=||w||₁，这是关于参数w的1范数；

（2）L2范数正则项，Ridge Regression，岭回归。p(w)=||w||²₂=w^Tw，这是关于参数w的2范数。

下面仅讨论岭回归。

4.1 频率角度

将平方损失函数与L2范数正则项p(w)=w^Tw代入J(w)得：

上图的Δ与【1 最小二乘法求线性回归模型】一节第一张图片的Δ相同，所以Δ·Δ^T相同，所以直接代入得：

继续通过MLE求w：

则w的最大似然估计就是上图中的最后一行。

4.2 贝叶斯角度

现在设噪声数据为ε，且ε～N(0,σ²)，y=f(w)+ε=w^Tx+ε，则有【y|x;w～N(w^Tx,σ²)】。假设参数w～N(0,σ₀²)，根据贝叶斯公式：

由于【y|x;w～N(w^Tx,σ²)】与【w～N(0,σ₀²)】，所以y|x;w与w的概率密度函数为：

则w_MAP为：

与目标函数J(w)=L(w)+λp(w)相比，对应的表达式已在上图最后一行标出。

再看本节给出的条件——同样是设噪声数据为ε，且ε～N(0,σ²)，也就是说【线性模型中加正则项的平方损失函数】等价于【线性模型参数的最大后验概率估计（MAP估计），同时噪声ε～N(0,σ²)】。

5 总结

1、【线性模型参数的最小二乘估计LSE】等价于【线性模型参数的极大似然估计MLE，同时噪声ε～N(0,σ²)】。

2、【线性模型中加正则项的平方损失函数】等价于【线性模型参数的最大后验概率估计（MAP估计），同时噪声ε～N(0,σ²)】。

END