泛函分析基础-如何证明l^∞是完备的度量空间

证明：设{x_{m}}是l^{\infty }中的柯西点列，其中x_{m}={\xi _{1}^{(m)},\xi _{2}^{(m)},...}

由柯西列的定义：对\forall\varepsilon >0，\exists正整数N，当n，m>N时，

                             d(x_{m},x_{n}) = sup_{j}|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}^{(n)}| < \varepsilon---------- (1)                  

                            因此，对每一个固定的j，当n,m > N时，成立

                             |\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}^{(n)}| < \varepsilon-----------------(2)

                            这就是说，数列\xi _{j}^{(k)}, k = 1,2,...是柯西点列（注意此处是指(\xi _{j}^{n})_{n=1}^{\infty }是R中的Cauchy列），因此，

由R的完备性：    \exists数\xi，使得\xi _{j}^{(n)}\rightarrow \xi _{j} (n\rightarrow \infty )

                            令x=(\xi _{1},\xi _{2},...)，下面证明x\in I^{\infty }，且x_{m}\rightarrow x(m\rightarrow \infty )

                            (注：若对\forall\varepsilon >0，\exists正整数N，当n，m>N时， d(x_{m},x_{n})< \varepsilon)

                            在（2）式中，令n\rightarrow \infty，可以得到：

                            对一切m > N，成立  |\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}| \leqslant \varepsilon-----------(3)（因为有了极限才可以取极限）

                            又\because  x_{m}=(\xi _{1}^{(m)},\xi _{2}^{(m)},...)，因此\exists实数K_{m}，使得对于所有j，成立|\xi _{j}^{(m)}|\leqslant K_{m}

                            因此，|\xi _{j}|\leqslant |\xi _{j} - \xi _{j}^{(m)}|+|\xi _{j}^{(m)}|\leqslant \xi + K_{m}

                            这就证明了x\in I^{\infty }(有界)，由（3）式，可知对一切的m > N，成立：

                            d(x_{m},x) = sup_{j}|\xi _{j}^{(m)} - \xi _{j}| \leq \varepsilon

                            \therefore  x_{m}\rightarrow x(m\rightarrow \infty )          因此l^{\infty }是完备度量空间，证毕。

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