e指数上矩阵运算_奇妙的傅里叶矩阵之 e^ikt

函数或者信号在各个领域都是被人们广泛研究的课题。而傅里叶级数从时域和频域两个角度对信号进行研究和计算，无论在理论上或者实践中都有重要的意义和价值，很多人都在学习和研究这个理论。

图1所示为一个下锯齿形信号，右面的时域图表示随时间变化的信号波形。其中坐标横轴为时间 t 轴。我们采用离散型函数的研究方法，选取一个周期T的时间作为研究区间，确定一个样本点数N等分周期T，坐标竖轴小x表示出对应于各个时刻 0，T/N, 2T/N,.....nT/N.....(N-1)T/N的信号的振幅值。

左面的频域图则把这个信号看作不同频率三角函数谐波的叠加。坐标横轴为频率 f 轴，0表示信号常量，1/T为基波（与信号本身同频率），2/T为二次谐波......k/T为k次谐波，谐波频率依次递增。坐标竖轴大X表示对应各次谐波的振幅峰值，也就是数学式中各次谐波前面的系数。对于下锯齿形信号，常量部分为1；基波为1.4，强度最大；高频部分渐弱。

离散傅里叶变换(DFT)和逆变换（IDFT)用下面两个数学式表示。

DFT

=

(0

k

N-1)

IDFT

=

(0

n

N-1)

本文规定

=e^i

（有些文章规定

=e^-i

),N为样本点数，k为谐波次数，n表示时刻。这个式子简单明了，但比较抽象。本文采用线性代数里向量，基与坐标，矩阵等概念，力求问题阐述简单易懂。

在线性代数里可以用向量来表示函数或者信号。所谓向量就是n个有次序的数所组成的数组，例如下锯齿形信号在一个周期里的表示，可以用小x的顺序排列实现，[0,0,0,0,-

,-3/4

,-1/2

,-1/4

。向量的维数就是我们设定的样本点数N，要提高信号表示的精度，可以增加向量的维数，N=16,32,64.......

n维向量的集合称为n维空间，一维空间为一条直线，二维空间为一个平面，三维空间是立体的，四维以上的空间是抽象的。但线性代数在低维空间的运算法则都可以推广到高维空间。

要表示一个向量需要一个坐标系，或者称为基，还需要这个基中的一组坐标。n维空间里可以找到很多同等的基，一个基由n个线性无关的n维基向量组成，把它们写在一个矩阵里，称为基矩阵。我们最常用的笛卡尔直角坐标系的基矩阵就是n阶单位矩阵

，它称为自然基或者平凡基，时域里用的就是这个基。同一个对象在不同的基中具有不同的坐标。在中学数学里已经开始使用坐标变换的方法研究问题，上面我们用小x作为坐标来表示信号，同样也可以用大X作为坐标表示同一个信号，关键是要找到转换基。

基和坐标是表示向量的两个要素，应该把两者都写出来才完整与准确。时域里的基矩阵是单位矩阵

,可以不写，但频域基矩阵必须表示清楚。同一个信号的两种表示是相等的，于是就有了下面的等式。

我们从这个等式出发，分析频域基矩阵的构造。傅里叶矩阵是使用e谐波作为基向量来构造基矩阵的。k次e谐波的表达式为e^i

kt，用复数表示就是复平面单位圆周上的动点，t从0至T，动点绕原点匀速转了k圈，k越大，转得越快，频率越高。一个e谐波对应于一个样本点时刻

有一个值e^i

nk，我们把它简写为

。

也称为N级单位根，图2表示的就是一次e谐波。

我们通过下面这张表来看傅里叶矩阵的构造。

傅里叶矩阵的第一行为0时刻，各次e谐波之值均为1，第一列表示信号常量，均为1。把时刻代入e谐波的表达式即可算得矩阵里相对应的元素。

的指数是任意整数，但

的数值只有N个，均匀分布在单位圆周上，单位根有很好的计算性质。1)

=

=1.

=-1.

=-

2)周期性，

=

3)对称性。（

=

=

。符号（

波示复数共轭。

N阶傅里叶矩阵（简写为

)就是

的一个排布，N取为2的正整数次幂：2，4，8，16，32.......

是正交的，对称的。它的共轭矩阵记为

，有关系式

=N

于是傅里叶逆变换可以写为

，非常简便。以

为例，这是最简单也是唯一的实傅里叶矩阵，其共轭就是它本身。

我们还需要关注的是

N/2次e谐波，

=(-1

，这个谐波在样本点时刻的数值是

1，为纯实数。而关于它对称的k次e谐波和（N-k)次e谐波在样本点时刻的数值

和

共轭（根据单位根的对称性），也就是说虚数信号可以互相抵消。这里强调的是样本点时刻，因为

在作计算时不考虑其它时刻的数值。以4阶傅里叶矩阵为例：

图3中，蓝曲线表示

的一次e谐波的虚数值，橙曲线为三次e谐波的虚数值，在进行计算的样本点时刻0, T/4, T/2, 3T/4数值抵消。

再来考虑e谐波的系数大X，从数学式看：

=

.

=

即

与

也共轭。根据傅里叶矩阵的这种对称性，我们在最后合成信号时，可以把k次e谐波和(N-k)次e谐波合并处理，这样傅里叶变换的虚数信号可以抵消，得到了实数结果。这一点很有意义。

现在我们以下锯齿信号为例，演示一下傅里叶变换的过程，以加深对以上内容的理解。为了便于说明问题，这里使用的是4阶傅里叶矩阵。

第一步，列等式。

得[

,

,

,

=

[-1.5

,(

-0.5

i),-0.5

,(

+0.5

i)

这个矩阵表达式可以写成一般的数学式如下：

=1/4(-1.5

+(

-0.5

i)e^i

t -0.5

e^i

t+(

+0.5

i)e^

t)

第三步，以e^i

kt=cos

kt+i sin

kt。代入上式，并合并k项和（N-k)项，消除虚数信号。注意在本题的条件下，在样本点时刻，cos

t=cos

t；sin

t=-sin

t;

sin

t=0。最后得到

=-1.18+1.57cos

t+0.78sin

t-0.39cos

t

为了方便计算，这里介绍下面的关系式：

若

e^i

kt+

e^i

(N-k）t=

cos

kt+

sin

kt

则

=2(

的实部），

=2(

的虚部）

下图显示下锯齿形信号的

变换后的波形曲线。因为样本点数小，相似误差较大。但形状轮廓是吻合的。