Sherman-Morrison-Woodbury，SMW恒等式

SMW恒等式常被用在矩阵运算中的一些恒等替换以便简化计算或得到所需形式。

证明：

对于一个矩阵分别进行LDU和UDL分解：

$\begin{bmatrix} A^{-1} &-B \\ C& D \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0\\ CA & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^{-1} &0 \\ 0& D+CAB \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -AB\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad(LDU)$

$\begin{bmatrix} A^{-1} &-B \\ C& D \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & -BD^{-1}\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^{-1}+BD^{-1}C &0 \\ 0& D \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ D^{-1}C & 1 \end{bmatrix} \quad(UDL)$

分解的本质是对矩阵初等变换成对角形式，然后移到等式右边；也可以直接根据矩阵的乘法和分解格式进行求解，不再赘述，可直接搜索LDU分解。

两边同时取逆：

对应项相等有：

【参考】《机器人学中的状态估计》@深蓝学院

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_37372155/article/details/120014057