【学习笔记】牛顿迭代法求立方根

简介

介绍使用牛顿迭代法求立方根 ${\sqrt[3]{x}}$ 的C语言实现和公式的推导。

代码

float CubeRoot(float num)
{
    float x = num;
    float error = 1e-5;
    
    while (fabs(num - (x * x * x)) >= error)
    {
        x = (2 * x + num / (x * x)) / 3.0;
    }
    
    return x;
}

代码很简单，就是使用牛顿迭代法计算，然后判断是否达到想要的精度，达到精度后退出。

这里精度设置是0.00001，可以根据自己实际情况调整。

公式推导

这里说明代码x = (2 * x + num / (x * x)) / 3.0;是如何得到的。

牛顿迭代法公式如下。

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

我们计算立方根的公式：

${\sqrt[3]{x}} = x^{\frac 13}$

所以

${{y}^3} = x$

构建以y为自变量的函数方程为

$f(y) = {{y}^3} - x = 0$

$f'(y) = {3}{y^2} = 0$

将 $f (y)$ 和 $f^{'} (y)$ 带入

$\frac{f(y)}{f'(y)} = y - \frac{{{y}^{3}} - x}{{3}{y^2}}$

$\frac{1}{3}{(2y + \frac{x}{y^2})}$

所以

$y_{n+1} = \frac{1}{3}{(2y_n + \frac{x}{y_n^2})}$ = $2{y_n} + {x}÷{y_n^2})÷3$

实际计算，设 $x = 2$ ， $y_1 = 2$

$y_2 = (2 × 2 + 2 ÷ 2^2) ÷ 3 = 1.5$

$y_3 = (2 × 1.5 + 2 ÷ 1.5^2) ÷ 3 = 1.296296$

$y_4 = (2 × 1.296296 + 2 ÷ 1.296296^2) ÷ 3 = 1.260932$

$y_5 = (2 × 1.260932 + 2 ÷ 1.260932^2) ÷ 3 = 1.259922$

经过多次迭代，计算出来的结果 ${\sqrt[3]{2}} \approx 1.259922$ 。

本文链接：https://blog.csdn.net/u012028275/article/details/113822412

原文链接：https://blog.csdn.net/u012028275/article/details/113822412