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最小二乘法的原理
实例：
求解结果：
c++程序源代码：
最小二乘法的原理
拟合函数：
式中：s(x)为拟合函数，
为拟合系数，
为函数族
平方误差：
(1)式可简化为线性方程组：
式中：
为函数序列在点
上的法方程组。
多项式拟合函数S(x)的基函数为：
基函数之间的内积为:
实例：
求解结果：
c++程序源代码：
//高等数值计算——曲线拟合——最小二乘法
//开发人员：chenshuai 开发日期：2019.11.20 邮箱：chenshuai0614@hrbeu.edu.cn
#include "pch.h"
#include #include //文件输入/输出流
#include //参数化输入/输出
#define n_polynomial 1 //需要拟合的多项式次数
#include using namespace std;
vectorleast_square_method(vectorx, vectory, vectora);//声明最小二乘法函数,x,y为原始数据，a为拟合多项式的系数列向量
double phi(double x, int n_cishu); //函数族计算
vectorleast_square_method(vectorx, vectory, vectora)//最小二乘法函数定义
{
int n_data=size(x),n_num = size(a);
vector>phi_phi;
vectorphi_f;
phi_f.resize(n_num);
phi_phi.resize(n_num, vector(n_num));
for (int i = 0; i < n_num; i++)
{
for (int j = 0; j < n_num; j++)
{
for (int k = 0; k < n_data; k++)
{
phi_phi[i][j]= phi_phi[i][j]+phi(x[k],i)*phi(x[k], j);
}
}
for (int k = 0; k < n_data; k++)
{
phi_f[i] = phi_f[i] + phi(x[k], i)*y[k];
}
}
a = gaussian_elimination(phi_phi, phi_f);//多项式系数求解采用高斯消去法“参考我以前写的文章(含代码)”https://blog.csdn.net/weixin_41788456/article/details/102485139
//平方误差求解
double delta_2=0;
for (int i = 0; i < n_data; i++)
{
delta_2 = delta_2 +y[i]*y[i];
}
for (int i = 0; i < n_num; i++)
{
delta_2 = delta_2 - a[i] * phi_f[i];
}
//系数矩阵与平方误差输出
for (int i = 0; i < n_num; i++)
{
for (int j = 0; j < n_num; j++)
{
cout << fixed << setprecision(2) << setw(12) << phi_phi[i][j];
}
cout << fixed << setprecision(4) << setw(12) << phi_f[i] << endl;
}
cout << fixed << setprecision(4) << setw(12) << delta_2 << endl;
return a;
}
double phi(double x, int n_cishu) //函数族计算
{
double y;
y = pow(x, n_cishu);
return y;
}
int main()
{
vectorx_i= { 1.9,2,2.1,2.5,2.7,2.7,3.5,3.5,4,4,4.5,4.6,5,5.2,6,6.3,6.5,7.1,8,8,8.9,9,9.5,10};//原始数据
vectory_i= { 1.4,1.3,1.8,2.5,2.8,2.5,3,2.7,4,3.5,4.2,3.5,5.5,5,5.5,6.4,6,5.3,6.5,7,8.5,8,8.1,8.1 };
vectora(n_polynomial + 1);
int n_data = size(x_i);
a=least_square_method(x_i, y_i, a);//最小二乘法拟合函数调用
cout << "多项式系数解为：" << endl;
for (int i = 0; i < n_polynomial + 1; i++)
cout << "a[" << i << "]=" << fixed << setprecision(2) << setw(5) << a[i] << endl;
ofstream out("一次函数拟合函数数据.dat");
double x,y, precision=0.01;
for (x = x_i[0]; x <= x_i.back(); x = x + precision)
{
y = 0.0;
for (int i = 0; i < n_polynomial + 1; i++)
{
y = y + a[i] * pow(x, i);
}
out << fixed << setprecision(4) << setw(12) << x << fixed << setprecision(4) << setw(12) << y << endl;
}
out.close();
ofstream out1("原始数据.dat");
for (int i = 0; i < n_data; i++)
{
out1 << fixed << setprecision(4) << setw(12) << x_i[i] << fixed << setprecision(4) << setw(12) << y_i[i] << endl;
}
out1.close();
}