矩阵相关

定义

矩阵$A=(a_{ij})$，通常用大写字母表示
交换矩阵的行列得到转置矩阵，记作$A^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
证明：$\displaystyle (AB)^T_{ij}=\sum_ka_{jk}b_{ki}=\sum_kb_{ki}a_{jk}=(B^TA^T)_{ij}$
向量是一维数组，长度为$n$的向量称为n向量
向量的标准形式定义为列向量，即$n \times 1$的矩阵
单位矩阵：只有对角线上的元素为1，其余为0的方阵，$n\times n$的单位矩阵写作$I_n$
所有元素均为0的矩阵为零矩阵
上三角矩阵：对于任意$i>j$，有$a_{ij}=0$；如果对角线上元素为1，则为单位上三角矩阵
下三角矩阵：对于任意$i<j$，有$a_{ij}=0$；如果对角线上元素为1，则为单位下三角矩阵
排列矩阵：每行每列有且仅有一个1，其余位置为0
对称矩阵：$A=A^T$
矩阵加（减）法和矩阵乘法就不啰嗦了
如果$x,y$为$n$向量，则$\displaystyle x^Ty=\sum^n_{i=1}x_iy_i$，得到一个数值，称为$x,y$的内积；矩阵$xy^T$为$n\times n$矩阵，称为$x,y$的外积。
定义$n$向量$x$的（欧几里得）范式$\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}=\sqrt{x^Tx}$，表示其在$n$维欧几里得空间内的长度

性质

对于$n\times n$的方阵$A$，如果存在矩阵$A^{-1}$使得$AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$，则说方阵$A$是可逆的，或非奇异的，$A^{-1}$称为$A$的逆矩阵；
反之，如果不存在这样的矩阵，则说方阵$A$是不可逆的，或奇异的
1.如果$A,B$都是非奇异的$n\times n$矩阵，则
$(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$
证明：把$BA$代进去算就行了
2.$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$
证明：$A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I_n^T=I_n\Rightarrow (A^{-1})^t=(A^T)^{-1}$
3.如果A,B都是n阶方阵，$AB=I\Leftrightarrow BA=I$
证明：$A=IA=AI=(AB)A=A(BA)\Rightarrow A(I-BA)=0\Rightarrow I=BA$
如果存在不全为0的相关系数$c_1,c_2,...,c_n$，使得$\displaystyle \sum^n_{i=1}c_ix_i=0$，则称$x_1,x_2,...,x_n$时线性相关的；反之是线性无关的
非零矩阵$A$的列秩时$A$的最大线性无关列集合的大小，行秩同理
同一个矩阵的行秩=列秩，所以可统称为秩
关于线性无关列集合的理解，可以认为是n维空间下的一组基底，用这组基底可以表示出矩阵中所有的行或列向量，如果集合大小为$n$，那么这个矩阵中的n个行（列）向量可以通过调整系数表示n维空间中的任一向量
矩阵的k阶子式表示从原矩阵中选出k行k列，相交的$k^2$个元素按原矩阵中的相对位置组成的新矩阵
矩阵的最高阶非零子式表示阶数最大且行列式不为0的子式，我们可以通过行变换得到类上三角矩阵（实际是下部分为0的阶梯型矩阵），选择k个非零行的首非零元所在列作为最高阶非零子式的列；通过列变换得到最高阶非零子式的行，然后就得到最高阶非零子式了
最高阶非零子式中所选的行（列）向量（不是该子式中的向量）可以作为基底表示矩阵中的其他行（列）向量，即它们是最大线性无关组，所以矩阵的秩也是最高阶非零子式的阶数

如果$n\times n$方阵的秩为$n$，则它是满秩的
方阵满秩$\Leftrightarrow$方阵非奇异
等下再证明
$n\times n(n>1)$矩阵$A$的$i$行$j$列子矩阵是一个删除$i$行$j$后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵$A_{[ij]}$，递归定义得到该矩阵的行列式
$\det(A)= \begin{cases} a_{11}&n=1\\ \displaystyle \sum^n_{i=1}(-1)^{1+i}a_{1\ i}\det(A_{[1i]})&n>1\\ \end{cases}$
$\det(A)$也可以通过逆序对来计算，简单来说就是枚举全排列$P={p_i}$，然后累乘$a_{i\ p_i}$，符号由逆序对奇偶决定
$\displaystyle \det(A)=\sum_{p是[1,n]的一个排列}(-1)^{p中逆序对个数}\prod_{i=1}^na_{i\ p_i}$
有时$\det(A)$也写作$|A|$
项$(-1)^{i+j}\det(A_{[ij]})$称为$a_{ij}$的代数余子式
从第二个计算方法容易发现，交换矩阵的任意两行（列），行列式的符号改变
证明：有一个比较好玩的定理

对于一个1~n的排列，任意交换两个不同位置上的元素，逆序对的奇偶性一定发生变化

设交换元素$x,y$，讨论一下它们之间有多少比x,y大(小)的，模拟一下就得出来了
也就是对于新$\det(A)$中累和后面的每一项与原$\det(A)$中累和后面对应的每一项符号相反，绝对值相同

把矩阵$A$的某一行（或列）的若干倍加到另一行（或列）上，$\det(A)$不变

证明：
用第二个方法来搞，假设我们把矩阵$A$第$y$行上的元素的$k$倍加到第$x$行上,设此时矩阵为$A'$，那么
$\displaystyle \det(A')=\sum_p(-1)^{p中逆序对个数}(a_{x\ p_x}+ka_{y\ p_x})\prod_{i\neq x} a_{i\ p_i}\\ \displaystyle =\sum_p(-1)^{p中逆序对个数}\prod_{i} a_{i\ p_i}+k\sum_p(-1)^{p中逆序对个数}a_{y\ p_x}\prod_{i\neq x} a_{i\ p_i}$
前面那部分就是$\det(A)$，后面的部分，累乘后面存在一项$a_{y\ p_y}$，显然$p_x\neq p_y$，那么必定存在另一项中的$a_y.$交换了$p_x,p_y$，其余项不变，此时正负号改变，相互抵消，所以后面那项就是0了
列加列时同理

除此之外还有一些行列式的性质

某行（或列）全为0$\Rightarrow \det(A)=0$;
某行（或列）都乘一个数$k$，行列式变为原来的$k$倍;
原矩阵和转置矩阵的行列式相等(假设n个元素有两个属性$a,b$且a,b各是[1,n]的一个排列，任意两个元素$i,j$间比较，$(a_i>a_j,b_i<b_j)$的元素对和$(a_i<a_j,b_i>b_j)$的元素对是一样多的，因为对称，然后就可以考虑第二种求行列式的方式了)

如果$A,B$都是$n$阶方阵，那么$\det(AB)=\det(A)\det(B)$
构造$2n$阶矩阵$\begin{vmatrix} A&0\\ -I&B\\ \end{vmatrix}$
从行列式的定义出发，对它产生贡献的就是左上和右下，就是$\det(A)·\det(B)$
我们对这个矩阵进行变换，把$b_{ij}$乘第$i$列分别加到第$n+j$列上($1\leq i,j\leq n$)（可以在纸上模拟一下），矩阵就变成了这个样子
$\begin{vmatrix} A&AB\\ -I&0\\ \end{vmatrix}$
产生贡献的是右上和左下，但每次额外产生$n^2$个逆序对，所以答案是$(-1)^{n^2}\det(AB)\det(-I)=(-1)^{n(n+1)}\det(AB)=\det(AB)$
矩阵变换后行列式不变，所以$\det(A)\det(B)=\det(AB)$
伴随矩阵：
写作$A^*$，$A^*_{ij}=M_{ji}$，即i行j列的代数余子式。简单来说，伴随矩阵就是原矩阵每一项换成对应的代数余子式，然后再转置一下
$AA^*=A^*A=\det(A)I$
证明：
$\displaystyle AA^*=\sum_ka_{ik}(-1)^{k+j}\det(A_{[j\ k]})$
当$i\neq j$时，对于$\det(A)_{[j\ k]})$中每一种排列方案（假设这种方案第$i$行选的是第$t$列），总能在$\det(A)_{[j\ t]}$找到一种对应方案使得第$i$行选的是第$k$列，其余位置不变，此时符号相反，绝对值相同，正好抵消；
当$i=j$时，式子正好就是行列式的计算，所以值为$\det(A)$
$A^*A$同理
说一下上面的没给出的证明
如果方阵$A$可逆，那么存在$AA^{-1}=I$，两边取$\det$，得到$\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1\Rightarrow\det(A)\neq 0$，即$A$的n阶非零余子式存在，$A$的秩为$n$(满秩)
如果方阵$A$满秩，则$\det(A)\neq0\Rightarrow \frac 1 {\det(A)}$存在，那么$A^{-1}=\frac 1 {\det(A)}A^*$