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本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等问题。
Matlab可以实现的内容
概率分布
数字特征
参数估计
假设检验
1.1、离散型随机变量的概率及概率分布
(1)分布律
二项分布的概率值
格式 binopdf(k,n,p)
说明 n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概 率；k: 事件A发生k次。
泊松分布的概率值
格式 poisspdf(k,lambda)
说明 k: 事件A发生k次; lambda:参数
超几何分布的概率值
格式 hygpdf(K,N,M,n)
说明 K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n: 抽取总数.
(2)累积概率值(随机变量X
二项分布的累积概率值
格式 binocdf(k,n,p)
说明 n:试验总次数；p:每次试验事件A发生的概率；k: 事件A发生k次。
泊松分布的累积概率值
格式 poisscdf(k,lambda)
说明 k: 事件A发生k次; lambda:参数
超几何分布的累积概率值
格式 hygcdf(K,N,M,n)
说明 K:抽得次品数；N：产品总数；M：次品总数；n: 抽取总数.
应用举例
例1.1 某机床出次品的概率为0.01,求生产100件产品中：(1)恰有一件次品的概率；(2)至少有一件次品的概率。
解：此问可看作是100次独立重复试验，每次试验出次品 的概率为0.01，恰有一件次品的概率,在Matlab命令窗口键入：
>> p=binopdf(1,100,0.01)
显示结果为：
p=0.3697
(2)至少有一件次品的概率, 在Matlab命令窗口键入：
>> p=1-binocdf(1,100,0.01)
显示结果为：p =0.2642
应用举例
例1.2 自1875年到1955年中的某63年间，某城市夏季(5-9月间)共发生暴雨180次，试求在一个夏季中发生k次(k=0,1,2,…,8)暴雨的概率 (设每次暴雨以1天计算)。
解：一年夏天共有天数为
n=31+30+31+31+30=153
故可知夏天每天发生暴雨的概率约为
很小，n=153较大，可用泊松分布近似。
程序：
>> p=180/(63*153);
>> n=153;
>> lamda=n*p;
>> k=0:1:8;
>> p_k=poisspdf(k,lamda)
结果：
p_k =
0.0574 0.1641 0.2344 0.2233 0.1595 0.0911 0.0434 0.0177 0.0063
即：用k表示一个夏季中发生的次数，其概率为：
1.2 连续型随机变量的概率及其分布
(1)概率密度函数值
利用专用函数计算概率密度函数值，如下表。
应用举例
例2.1 计算正态分布N(0，1)下的在点0.7733的值。
在Matlab命令窗口键入：
>> normpdf(0.7733,0,1)
回车后显示结果为：
ans =
0.2958
举例应用
例2.2 绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5，15时的图形
程序：
x=0:0.1:30;
y1=chi2pdf(x,1);
plot(x,y1,':')
hold on %保留当前图形
y2=chi2pdf(x,5);
plot(x,y2,'+')
y3=chi2pdf(x,15);
plot(x,y3,'o')
axis([0,30,0,0.2]) %控制图形在坐标轴上的范围
xlabel(‘图2-1’) %给轴标注“图2-1”
结果为下图
(2)分布函数
利用专用函数计算累积概率函数值，即
常用专用函数如下表。
应用举例
例2.3 某公共汽车站从上午7：00起每15分钟来一班车。若某乘客在7：00到7：30间任何时刻到达此站是等可能的，试求他候车的时间不到5分钟的概率。
解：设乘客7点过X分钟到达此站，则X在[0，30]内服从均匀分布，当且仅当他在时间间隔(7：10，7：15)或(7：25，7：30)内到达车站时，候车时间不到5分钟。故其概率为：P1=P{10
程序：
>> format rat
>> p1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30);
>> p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30);
>> p=p1+p2
则结果显示为：p=1/3
应用举例
例2.4 设随机变量X的概率密度为
确定常数c;
求X落在区间(-1/2，1/2)内的概率；
求X的分布函数F(x)
程序(1)：
>> syms c x
>> px=c/sqrt(1-x.^2);
>> Fx=int(px,x,-1,1)
则结果显示如下：Fx=pi*c
由pi*c=1得 c=1/pi
程序(2)：
>> syms x
>> c='1/pi';
>> px=c/sqrt(1-x.^2);
>> format
>> p1=int(px,x,-1/2,1/2)
则结果显示如下：
p1=1/3
程序(3)
>> syms x t
>> c='1/pi';
>> px=c/sqrt(1-t.^2);
>> format
>> Fx=int(px,t,-1,x)
则结果显示如下：
Fx =1/2*(2*asin(x)+pi)/pi
所以X的分布函数为：
(3)逆累积概率值
已知 ，求x。x为临界值，
常用临界值如表
应用举例
例2.5 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X(单位：cm)服从正态分布N(175，36)，求车门的最低高度。
解：设h为车门高度，X为身高，求满足条件P{X>h}0.01的h，即P{X
程序：
>> h=norminv(0.99,175,6)
结果：
h=
188.9581
应用举例
例 2.6 设二维随机变量(X，Y)的联合密度为：
求(1)P{0
(2) (X,Y)落在x+y=1,x=0,y=0所围成的区域内的概率。
程序：
>> syms x y
>> f=exp(-x-y);
>> P_XY=int(int(f,y,0,1),x,0,1)
>> P_G=int(int(f,y,0,1-x),x,0,1)
运行结果显示如下：
P_XY= exp(-2)-2*exp(-1)+1
P_G= -2*exp(-1)+1
1.3 数字特征
(1)数学期望
离散型随机变量X的期望计算
求和函数：sum(X)
说明：
若X为向量，则sum(X)为X中的各元素之和，返回一个数值；若X为矩阵，则sum(X)为X中各列元素之和，返回一个行向量。
求均值函数：mean(X)
说明：
若X为向量，则sum(X)为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值；若X为矩阵，则sum(X)为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量
应用举例
例3.1 随机抽取6个滚珠测得直径(mm)如下：
14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32
试求样本平均值。
程序：
>> X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32];
>> mean(X)
则结果显示如下：
ans=15.0600
或键入：
>> X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32];
>> p=[1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6];
>> sum(X.*p)
则结果显示如下：
ans=15.0600
连续型随机变量的期望
应用举例
例 3.2 已知随机变量X的概率
求EX和E(4X-1)。
程序：
>> syms x
>> EX=int(x*3*x^2,0,1)
>> EY=int((4*x-1)*3*x.^2,0,1)
运行后结果显示如下：
EX=3/4
EY=2
(2) 方差
离散型随机变量的方差及样本方差
方差
设X的分布律为
由
则方差 DX=sum(X.^2*P)-(EX).^2
标准差：
应用举例
例 3.3 设随机变量X的分布律为：
连续型随机变量的方差
利用 求解。
例3.5 设X的概率密度为：
求DX，D(2X+1)
解：
程序：
>> syms x
>> px=1./(pi*sqrt(1-x.^2));
>> EX=int(x*px,-1,1)
>> Dx=int(x.^2.*px,-1,1)
>> y=2*x+1;
>> EY=int(y.*px,-1,1)
>> DY=int(y.^2.*px,-1,1)-EY.^2
运行结果显示如下：
EX=0
DX=1/2
EY=1
DY=2
(3) 常用分布的期望与方差求法
在统计工具箱中，用’stat’结尾的函数可以计算给定参数的某种分布的均值和方差。
应用举例
例3.6 求参数为6的泊松分布的期望和方差。
程序：
>> [M,V]=poisstat(6)
则结果显示如下：
M=6
V=6
1.4 二维随机变量的数字特征
(1)期望
根据二维随机变量期望的定义构造函数计算。下面分别就离散和连续的情况举例说明。
应用举例
例4.1 设(X，Y)的联合分布为
Z=X-Y，求EZ。
程序：
>> X=[-1 2];
>> Y=[-1 1 2];
>> for i=1:2
for j=1:3
Z(i,j)=X(i)-Y(j);
end
end
>> P=[5/20 2/20 6/20;3/20 3/20 1/20];
>> EZ=sum(sum(Z.*P)) %将Z与P对应相乘相加
运行结果显示如下：
EZ=-0.5000
应用举例
例4.2 射击试验中，在靶平面建立以靶心为原点的直角坐标系，设X，Y分别为弹着点的横坐标和纵坐标，它们相互独立且均服从N(0,1)，求弹着点到靶心距离的均值。
解：设弹着点到靶心距离为 ，
则求EZ。
联合概率密度：
期望为：
程序：
>> syms x y r t
>> pxy=1/(2*pi)*exp(-1/2*(x.^2+y.^2));
>> EZ=int(int(r*1/(2*pi)*exp(-1/2*r.^2)*r,r,0,+inf),t,0,2*pi)
运行结果：
EZ =
1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)
即
(2)协方差
Matlab提供了求协方差的函数：
cov(X)
％X为向量时，返回此向量的方差；X为矩阵时，返回此矩阵的协方差矩阵
cov(X，Y)
%返回X与Y的协方差，X与Y同维数
cov(X，0)
%返回X的样本协方差，置前因子为1/(n-1)
cov(X，1)
%返回X的协方差，置前因子为1/n
应用举例
例 4.3设(X,Y)的联合概率密度为：
求DX，DY和
解：
程序：
>> syms x y
>> pxy=1/8*(x+y);
>> EX=int(int(x*pxy,y,0,2),0,2)
>> EY=int(int(y*pxy,x,0,2),0,2)
>> EXX=int(int(x^2*pxy,y,0,2),0,2)
>> EYY=int(int(y^2*pxy,x,0,2),0,2)
>> EXY=int(int(x*y*pxy,x,0,2),0,2)
>> DX=EXX-EX^2
>> DY=EYY-EY^2
>> DXY=EXY-EX*EY
运行结果显示如下：
EX=7/6
EY=7/6
EXX=5/3
EYY=5/3
EXY=4/3
DX=11/36
DY=11/36
DXY=-1/36
例 4.4 求一个随机矩阵的协方差。
在命令窗口键入
>> d=rand(2,6)
则结果为
d =
0.9501 0.6068 0.8913 0.4565 0.8214 0.6154
0.2311 0.4860 0.7621 0.0185 0.4447 0.7919
在命令窗口键入
>> cov1=cov(d)
则结果为
cov1 =
0.2585 0.0434 0.0464 0.1574 0.1354 -0.0635
0.0434 0.0073 0.0078 0.0265 0.0228 -0.0107
0.0464 0.0078 0.0083 0.0283 0.0243 -0.0114
0.1574 0.0265 0.0283 0.0959 0.0825 -0.0387
0.1354 0.0228 0.0243 0.0825 0.0710 -0.0332
-0.0635 -0.0107 -0.0114 -0.0387 -0.0332 0.0156
(3)相关系数
Matlab提供了求相关系数的函数。
corrcoef(X,Y) %返回列向量X，Y的相关系数
corrcoef(X) %返回矩阵X的列向量的相关系数矩阵
例4.6 设(X，Y)在单位圆
上服从均匀分布，即有联合密度
求 ， ， 及 。
解：
程序：
>> syms x y r t
>>PXY='1/pi';
>> EX=int(int(r^2*cos(t)*PXY,r,0,1),0,2*pi)
>> EY=int(int(r^2*sin(t)*PXY,r,0,1),0,2*pi)
>> EXX=int(int(r^3*cos(t)^2*PXY,r,0,1),0,2*pi)
>> EYY=int(int(r^3*sin(t)^2*PXY,r,0,1),0,2*pi)
>> EXY=int(int(r^3*sin(t)*cos(t)*PXY,r,0,1),0,2*pi)
>> DXX=EXX-(EX)^2
>> DYY=EYY-(EY)^2
>> DXY=EXY-EX*EY
>> ro_XY=DXY/sqrt(DXX*DYY)
运行后结果显示如下：
EX=0
EY=0
EXX=1/4
EYY=1/4
EXY=0
DXX=1/4
DYY=1/4
DXY=0
Ro_XY=0
1.5 统计直方图
函数 hist(Z，n)
%直角坐标系下的统计直方图
n表示直方图的区间数，缺省时n=10
函数 rose(theta,n)
%极坐标系下角度直方图
n是在[0，2]范围内所分区域数，
缺省时n=20,theta为指定的弧度数据。
应用举例
例 5.1 某食品厂为加强质量管理，对生产的罐头重量X进行测试，在某天生产的罐头中抽取了100个，其重量测试数据记录如下：
342 340 348 346 343 342 346 341 344 348
346 346 340 344 342 344 345 340 344 344
343 344 342 343 345 339 350 337 345 349
336 348 344 345 332 342 342 340 350 343
347 340 344 353 340 340 356 346 345 346
340 339 342 352 342 350 348 344 350 335
340 338 345 345 349 336 342 338 343 343
341 347 341 347 344 339 347 348 343 347
346 344 345 350 341 338 343 339 343 346
试根据以上数据作出X的频率直方图。
程序：
>> X=[342 340 348 346 343 342 346 341 344 348 ...
346 346 340 344 342 344 345 340 344 344 ...
343 344 342 343 345 339 350 337 345 349 ...
336 348 344 345 332 342 342 340 350 343 ...
347 340 344 353 340 340 356 346 345 346 ...
340 339 342 352 342 350 348 344 350 335 ...
340 338 345 345 349 336 342 338 343 343 ...
341 347 341 347 344 339 347 348 343 347 ...
346 344 345 350 341 338 343 339 343 346 ...
342 339 343 350 341 346 341 345 344 342];
>> hist(X,13)
该例的统计直方图如下：
1.6 参数估计
1、点估计
样本数字特征法
样本均值：
mx=1/n*sum(x)
样本方差：
ss=1/(n-1)*sum((x-mx).^2)
(2) 最大似然估计
应用举例
例6.1 设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)分别为
6.0;5.7;5.8;6.5;7.0;6.3;5.6;6.1;5.0
设干燥时间总体服从正态分布N( )
求 和 的置信度为0.95的置信区间( 未知)
程序：
>> X=[6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0];
>> [MUHAT,SIGMAHAT,MUPCI,SIGMACI]=normfit(X,0.05)
运行后结果显示如下：
muhat=6 % 的最大似然估计值
sigmahat=0.5745 % 的最大似然估计值
muci=5.5584
6.4416 % 的置信区间
sigmaci=0.2880
1.1005 % 的置信区间
1.7 假设检验
在Matlab中，假设检验问题都提出两种假设：即原假设和备择假设。对于正态总体均值的假设检验给出了检验函数：
ztest 已知 ，检验正态总体均值 ；
ttest 未知 ，检验正态总体均值 ；
ttest2 两个正态总体均值比较。
对于一般连续型总体一致性的检验，给出了检验方法—秩和检验，由函数ranksum实现。
1 单个正态总体N( )的假设检验
已知，对期望 的假设检验—Z检验法
调用函数 H=ztest(X，m,sigma)
H=ztest(X，m,sigma,alpha)
[H,sig,ci]=ztest(X，m,sigma,alpha,tail)
说明：X：样本；m:期望值；sigma:正态总体标准差；alpha:经验水平 ；
tail:备择假设的选项，若tail=0(缺省)，则 ；
若tail=1，则 ；若tail=-1，则 。
即tail=0(缺省)为双边检验，其余为单边检验问题。
H：检验结果，分两种情况：若H=0，则在水平 下，接受原假设；若H=1，则在水平 下，拒绝原假设。
sig为当原假设为真时(即 成立)，得到观察值的概率，当sig为小概率时，则对原假设提出质疑。Ci:均值 的1-alpha置信区间。
应用举例
例7．1 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖9袋，称得净重为：(公斤)
0.497 0.518 0.524 0.498 0.511 0.52 0.515 0.512
问机器是否正常？
解： 已知，在水平 =0.05下检验假设：
原假设： 备择假设：
程序：
>>X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512];
>> [H,SIG]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)
运行后显示结果如下：
H=1
SIG=0.0248
结果表明：H=1，说明在水平=0.05下，可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常。
1 单个正态总体N( )的假设检验
未知，对期望 的假设检验—t检验法
调用函数
H=ttest(X,m,sigma)
%在水平 =sigma下检验是否成立。
说明：X：样本；m:期望值；alpha:经验水平 ；
tail:备择假设的选项，若tail=0(缺省)，则备择假设为 ；若tail=1，则 ；若tail=-1，则 。即tail=0(缺省)为双边检验，其余为单边检验问题。
H：检验结果，分两种情况：若H=0，则在水平 下，接受原假设；若H=1，则在水平 下，拒绝原假设。
sig为当原假设为真时(即 成立)，得到观察值的概率，当sig为小概率时，则对原假设提出质疑。Ci:均值 的1-alpha置信区间。
应用举例
例7.2 某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态分布， 均未知，现测得16只元件寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)？
解： 未知，在水平 =0.05下检验假设：
程序：
>> X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170];
>> [H,SIG]=ttest(X,225,0.05,1)
运行后显示结果如下：
H=0
SIG=0.2570
结果表明：H=0，说明在水平=0.05下，应接受原假设，即认为元件的平均寿命不大于225小时。
2、两个正态总体均值差的检验(t检验)
调用函数 [h,sig,ci]=ttest(X,Y)
[h,sig,ci]=ttest(X,Y,alpha)
[h,sig,ci]=ttest(X,Y,alpha,tail)
说明：原假设为：当tail=0时，表示 (缺省)；当tail=1时，表示 ； 当tail=-1时，表示 。 为X，Y的期望，h,sig,ci与前面相同。
应用举例
例7.3 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在同一平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼10炉，其得率分别为
标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
新方法：79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体
N( )和N( )，均未知。问建议的新方法能否提高得率？(取=0.05)
解：两个总体方差不变时，在水平 =0.05下经验假设：
程序：
>> X=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3];
>> Y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 77.3 80.2 82.1];
>> [H,SIG,CI]=ttest2(X,Y,0.05,-1)
运行后显示结果如下：
H =1
SIG =3.6151e-004
CI = -Inf -1.8683
结果表明：H=1，说明在水平 =0.05下，应拒绝原假设，即认为建议的新方法能提高得率，因此，比原方法好。
小结
概率分布
(分布律、密度函数、分布函数等)
数字特征
(数学期望、方差、协方差、相关系数等)
参数估计
(点估计、区间估计)
假设检验
( Z检验法、 t检验等)
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《Matlab来解决概率统计学ppt》是由用户The island The coast于2016-10-29上传，属于高校大学PPT。