近世代数--陪集--|左陪集|=|右陪集|
博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。
这里是陪集的一些先验知识，讲了陪集的定义，陪集是对群的一种划分，陪集可以推出子群和群的阶：∣ H ∣ ∣ ∣ G ∣ |H|\mid |G|∣H∣∣∣G∣。
- 左陪集：a H = { a h ∣ h ∈ H } aH=\{ah|h\in H\}aH={ah∣h∈H}
- 所有左陪集：G / H = { a H ∣ a ∈ G } G/H=\{aH|a\in G\}G/H={aH∣a∈G}
- 右陪集：H b = { b h ∣ h ∈ H } Hb=\{bh|h\in H\}Hb={bh∣h∈H}
- 所有右陪集：H ∖ G = { H b ∣ b ∈ G } H\setminus G=\{Hb|b\in G\}H∖G={Hb∣b∈G}（这里的∖ \setminus∖只是在此处表示所有右陪集的集合，通常来说，这是集合减的意思。）
证明：|左陪集|=|右陪集|
找一个映射：G / H → H ∖ G ， f ( a H ) = H a − 1 , a ∈ G G/H\rightarrow H\setminus G，f(aH)=Ha^{-1},a\in GG/H→H∖G，f(aH)=Ha−1,a∈G
证明映射：要证如果a H = b H , a ∈ G , H ≤ G aH=bH,a\in G,H\le GaH=bH,a∈G,H≤G，有H a − 1 = H b − 1 Ha^{-1}=Hb^{-1}Ha−1=Hb−1
- 如果a H = b H , a ∈ G , H ≤ G aH=bH,a\in G,H\le GaH=bH,a∈G,H≤G，那么H a − 1 = H a − 1 ( b b − 1 ) = H ( a − 1 b ) b − 1 Ha^{-1}=Ha^{-1}(bb^{-1})=H(a^{-1}b)b^{-1}Ha−1=Ha−1(bb−1)=H(a−1b)b−1
- a H = b H → a − 1 a H = a − 1 b H → H = a − 1 b H aH=bH\rightarrow a^{-1}aH=a^{-1}bH\rightarrow H=a^{-1}bHaH=bH→a−1aH=a−1bH→H=a−1bH
- a H = H → a ∈ H aH=H\rightarrow a\in HaH=H→a∈H，证明：a H = H → e H ∈ a H → ∃ h ∈ H , aH=H\rightarrow e_H\in aH\rightarrow {\exists}h\in H,aH=H→eH∈aH→∃h∈H,使a h = e H → a = h − 1 ∈ H ah=e_H\rightarrow a=h^{-1}\in Hah=eH→a=h−1∈H
- a − 1 b ∈ H a^{-1}b\in Ha−1b∈H
- a H = b H → a − 1 a H = a − 1 b H → H = a − 1 b H aH=bH\rightarrow a^{-1}aH=a^{-1}bH\rightarrow H=a^{-1}bHaH=bH→a−1aH=a−1bH→H=a−1bH
- H a − 1 = H ( a − 1 b ) b − 1 = H b − 1 Ha^{-1}=H(a^{-1}b)b^{-1}=Hb^{-1}Ha−1=H(a−1b)b−1=Hb−1，所以f ： f ( a H ) = H a − 1 f：f(aH)=Ha^{-1}f：f(aH)=Ha−1是一个映射。
- 如果a H = b H , a ∈ G , H ≤ G aH=bH,a\in G,H\le GaH=bH,a∈G,H≤G，那么H a − 1 = H a − 1 ( b b − 1 ) = H ( a − 1 b ) b − 1 Ha^{-1}=Ha^{-1}(bb^{-1})=H(a^{-1}b)b^{-1}Ha−1=Ha−1(bb−1)=H(a−1b)b−1
证明单射：要证如果a H ≠ b H , a ∈ G , H ≤ G aH\neq bH,a\in G,H\le GaH=bH,a∈G,H≤G，则H a − 1 ≠ H b − 1 Ha^{-1}\neq Hb^{-1}Ha−1=Hb−1
反证法：H a − 1 = H b − 1 → a H = b H → a − 1 b H = H Ha^{-1}=Hb^{-1}\rightarrow aH=bH\rightarrow a^{-1}bH=HHa−1=Hb−1→aH=bH→a−1bH=H
H a − 1 = H b − 1 → H a − 1 b = H b − 1 b → H a − 1 b = H → a − 1 b ∈ H → a − 1 b H = H Ha^{-1}=Hb^{-1}\\ \rightarrow Ha^{-1}b=Hb^{-1}b\\\rightarrow Ha^{-1}b=H\\\rightarrow a^{-1}b\in H\\\rightarrow a^{-1}bH=HHa−1=Hb−1→Ha−1b=Hb−1b→Ha−1b=H→a−1b∈H→a−1bH=H证明满射：∀ H a − 1 , ∃ a H , \forall Ha^{-1},{\exists} aH,∀Ha−1,∃aH,使得f ( a H ) = H a − 1 f(aH)=Ha^{-1}f(aH)=Ha−1，易得。