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我们这里的讲解都是在2D平面上面的

Homogeneous representation of lines.

传统表示2D平面中的直线的方法为

$$ax+by+c=0$$

那么,我们很自然的想到使用$\mathbf{l}=(a,b,c{)}^T$来表示一条直线.
这便是齐次表示法. 注意,

$$(a,b,c{)}^T\equiv k(a,b,c{)}^T,fork\ne 0$$

实际上他们构成一个等价类. 这个等价类中的任何一个元素, 都表示同一条直线.

Projective Space of ${\mathbb{P}}^2$

在${\mathbb{R}}^3-(0,0,0{)}^T$中的所有的等价类的集合构成了${\mathbb{P}}^2$,
值得注意的是,不是里面的元素, 而是等价类(这一点尤为重要)

Homogeneous representation of points

在2D平面中点的表示方式是$(x,y)$. 而它的齐次表示方式位$(x,y,1)$.
值得注意的是.所有的$(kx,ky,k)$, $k\ne 0$, 都表示同一个点.
和直线的齐次表示同理.
这个等价类中的元素都表示同一个点.同样齐次表示法的点的一个等价类是属于${\mathbb{P}}^2$,
也就是说, 等价类属于${\mathbb{P}}^2$,
而不是仅仅是一种表示$(x,y,1)$属于这个空间.

Result 2.1.

一个点$\mathbf{x}$在一条直线$\mathbf{l}$上的充分必要条件为${\mathbf{x}}^T\mathbf{l}=0$,
所有的$\mathbf{x},\mathrm{l}$均是齐次表示法. 操作为向量点积.

Degrees of freedom (dof)

2D点的自由位2, 这个很简单就是$(x,y)$. 2D直线的自由度也是2,
表现在梯度和截距. 也可以表示为2个比值$a:b:c$.

Intersection of lines

在齐次坐标的表示下,两条直线$\mathbf{l},{\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}$的交点非常容易求.

$$\mathbf{x}=\mathbf{l}\times {\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}$$

为什么? 因为交点$\mathbf{x}$同时出现在$\mathbf{l},{\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}$上

$$\mathbf{l}\cdot \mathbf{x}=\mathbf{l}\cdot \mathbf{l}\times {\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}=0$$
$${\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}\cdot \mathbf{x}={\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}\cdot \mathbf{l}\times {\mathbf{l}}^{{}^{\prime }}=0$$

Line joining points

同理过两点的直线, 也非常容易.

$$\mathbf{l}=\mathbf{x}\times {\mathbf{x}}^{{}^{\prime }}$$

证明同上.