1.线性规划定义

1.1.线性规划模型

我们用不等式和单纯形法中顶点坐标的计算方法，给出线性规划模型的两种表示形式：不等式形式和等式形式

1.2.线性规划问题的解的概念

可行解：满足约束条件的解。
可行域：可行解构成的集合。
最优解：使目标函数达到最大（最小）值的解。

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2.求解线性规划的matlab解法

2.1.基于matlab求解器的解法

首先应将问题化为标准模型
其中c和x为n维列向量，A、Aeq为适当维数的矩阵，b、beq为适当维数的列向量。【注意：matlab是求的是最小值，不等式的不等号是$\le$】

用linprog命令求解线性规划问题 x返回值是决策向量取值，fval返回值是目标函数最优值 【命令中的空项目用[ ]代替即可】

[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

2.2.基于问题的解法

当约束条件和目标函数比较复杂，运用求和符号或者连乘符号表示,或者决策向量是二维极其以上，用基于问题的解法比较简单。
以下题为例：

解得最优解为$x_1=2,x_2=6$
目标函数最优值为26


求解matlab程序如下：

clc,clear
probl=optimproblem("ObjectiveSense","max");
%创建最大化线性规划问题（我们的问题是使目标函数值最大，所以要输"ObjectiveSense"）
c=[4,3];  %目标函数系数向量
a=[2,1;1,1;0,1];
b=[10;8;7];
x=optimvar("x",2,1,"LowerBound",0);
%定义问题的符号决策向量
%x=optimvar(，行数，列数，，)
probl.Objective=c*x;  %问题的目标函数
probl.Constraints=a*x<=b;  %问题的约束条件
%如果约束条件有多类，可以再加个标签probl.Constraints.c1,这里只有一类约束条件，所以没有加
[sol,fval,flag,out]=solve(probl)
%一般的线性规划只需要[sol,fval]=solve(probl)
%其中fval是返回的最优值
sol.x  %显示决策变量的取值

应用举例：

设$x_{ij}$为第i个月份租借期限为j的仓库面积，因为5月份不租仓库，所以$x_{24},x_{33},x_{34},x_{42},x_{43},x_{44}=0$,可建立如下模型：

解得最优解为：$x_{11}=3,x_{14}=12,x_{31}=8$
目标函数最优值是 118400


matlab程序如下：

clc,clear
prob=optimproblem;
x=optimvar("x",4,4,'LowerBound',0);
prob.Objective=2800*sum(x(:,1))+4500*sum(x(1:3,2))+6000*sum(x(1:2,3))+7300*x(1,4);
prob.Constraints=[sum(x(1,:))>=15
    sum(x(1,2:4))+sum(x(2,1:3))>=10
    sum(x(1,3:4))+sum(x(2,2:3))+sum(x(3,1:2))>=20
    x(1,4)+x(2,3)+x(3,2)+x(4,1)>=12];
[sol,fval,flag,out]=solve(prob)
sol.x

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3. 运输问题（产销平衡）

运输问题也是线性规划问题，其模型如下
可以用线性规划的解法解决，

应用举例

设$x_{ij}$表示从产地$A_i$运到到销售地$B_j$的量，$c_{ij}$表示产地$A_i$运到到销售地$B_j$的运价，$d_{ij}$表示销售地$B_j$的需求量，$c_i$表示产地的产量。

则目标函数就是使总的运费最小，约束条件有，销售地需求量等于运送量；运送量小于等于产地产量。

我们用基于问题的方法求解这个线性规划，得到$x_{12}=19,x_{15}=41,x_{21}=1,x_{24}=40,x_{32}=11,x_{37}=40,x_{46}=5,x_{48}=38,x_{51}=34,x_{52}=7,x_{63}=22,x_{66}=27$

matlab程序如下`

clc,clear
a=readmatrix('data1.txt')  %读取表中的数据
%%若数据是整行整列的表，则可以用load('文件名')
c=a(1:end-1,1:end-1);
%%end表示行、列的最大值
d=a(end,1:end-1);
e=a(1:end-1,end);
x=optimvar("x",6,8,'LowerBound',0)  %定义决策向量
prob=optimproblem('Objective',sum(c.*x,'all'));
%定义问题，并写出目标函数
%这里sum(c.*x,'all')相当于sum(sum(c.*x))
prob.Constraints.c1=sum(x)==d;  
%sum(A)，不指定dim或指定dim为1，则自动计算成所有列向量数值的和；如果指定dim为2，则自动计算成所有行向量数值的和
prob.Constraints.c2=sum(x,2)<=e;
[sol,fval,flag,out]=solve(prob)
xx=sol.x
writematrix(xx,'data1.xlsx')  %把数据贴到excel表格中，用于做表使用

4.问题记录

模型建立方面：
1.模型要注意灵敏度分析，即分析哪个变量的轻微波动对结果的影响更大（现实生活中难免决策变量会发生变化）
2.投资偏好系数：投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合，因此对风险和收益分别赋予权重，s称为投资偏好系数
记风险为P，收益为Q，则需要寻找一个s，使得
$minP-Q$,或$maxQ-P$。

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