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本文主要介绍马氏距离(Mahalanois distance). 与欧拉距离不同,
马氏距离主要用在判断一个样本是否属于某个分布.

定义

假设我们有一个采样数据$\mathbf{x}=\{x_1,x_2,\cdots ,x_n{\}}^T$,
而有一个已知的分布$P$,
这个分布$P$的均值为$\mu ={\left({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n\right)}^T$,
它的协方差矩阵为$S$.那么我们可以定义马氏距离$D_M(\mathbf{x})$为

$$D_M(\mathbf{x})=\sqrt{(\mathbf{x}-\mu {)}^T{S}^{-1}(\mathbf{x}-\mu )}$$

也就是说马氏距离越小, $\mathbf{x}\in P$的概率越大.
另外可以定义两个样本之间的距离为.
$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{y}{)}^T{S}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{y})}$$

马氏距离越小, 则两个样本之间的距离越小.

直观解释

这里我们使用三个层次来做直观解释. 层层递进来解释这个马氏距离.

1

当你有一个样本$\mathbf{x}$, 并且知道分布$P$的$\mu$时.
自然而然的想到一个方法来判断$\mathbf{x}$是否是$\in P$的.

$$||\mathbf{x}-\mu |{|}_2^2⩽\tau$$

这个方法就是使用简单的欧式距离来判断样本与均值之间的距离.但是这有一个缺点,
也就是说的有的分布范围比较大,
有的比较小.因为分布的方差不一样.画个图形来表示就是,
以$\mu$为中心画一个圆. 方差小的分布, 圆半径比较小,
方法大的分布,
圆半径比较大.不同的分布要采用不同的$\tau$.于是我们提出改进2.

2

使用

$\frac{\mathbf{x}-\mu }{\sigma }⩽\tau$

这样就可以弥补方差带来的不同差异.但是这里仍然有一个问题.
上式表示的分布需要在各个维度上具有相同的$\sigma$,
如果分布是圆而是一个椭圆.则上面的方法就会失效.所以最后就引入了马氏距离.

3

使用马氏距离,
来度量样本是否属于某个分布.这里稍微解释下$S^{-1}$.不过这种解释不是严谨和准确.
如果有人能更好的解释请留言.

• 协方差矩阵$S$, 表征数据的分散程度.(主对角线)

• $S^{-1}$,表征数据的紧实程度.(主对角线)

应用

现在我们可以来用马氏距离来分类了.先我们对于不同的类别数据有不同的$S_i,{\mu }_i$,
我们可以分别计算

$$i^{\ast }=\underset{i}{\mathrm{argmin}}\sqrt{(\mathbf{x}-{\mu }_i{)}^T{S}_i^{-1}(\mathbf{x}-{\mu }_i)}$$

最后可得$P_i$就是$\mathbf{x}$所处的分类.