正态函数（高斯分布）

若随机变量X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的概率分布，且其概率密度函数为

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π} \sigma}e^{-\frac{(x- \mu)^{2}}{2 \sigma ^{2}}}$$
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作 $X$~$N$( $\mu$， $\sigma^{2}$)。
当 $\mu=0$， $\sigma=1$时，称为标准正态分布。 $X$~ $N(0,1)$
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$
如下图是一般正态分布

如下图是标准正态分布

一般正态分布的分布函数$F(x):$

$$F(x)=P(X \leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt$$
标准正态分布的分布函数 $\Phi(x):$ $$\Phi(x)=P(X\leq x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

设$X$~$N(\mu,\sigma^2)$，则$P(x_{1}\lt X\lt x_{2})=\Phi (\frac{x_{2}-\mu}{\sigma})-\Phi (\frac{x_{1}-\mu}{\sigma})$

Q函数

Q函数又称标准正态分布的右尾函数。

$$Q(x)=\int _{x}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{t^2}{2}}dt=1-\Phi (x)$$

误差函数

$$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt$$

互补误差函数

$$erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^2}dt=1-erf(x)$$

关系

$$Q(x)=1-\Phi (x)$$
$$Q(x)=\frac{1}{2}erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})$$
$$erfc(x)=2Q(\sqrt{2}x)$$
$$erf(x)=1-2Q(\sqrt{2}x)$$
$$erf(x)+erfc(x)=1$$

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注：

由正态分布密度函数的总积分为1（即概率$P(X\lt \infty)=1$）得：

$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1$

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}$

令$t=\frac{x}{\sqrt{2}}$，$x=\sqrt{2}t$，再将自变量$t$替换为$x：$

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

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搬运工~~
https://www.cnblogs.com/htj10/p/8621771.html

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第一次编辑，打公式练手~顺便保存下来方便看~

有几个问题厚，希望有人看得到0.0

插入几个图片怎么才能在一排显示呀？
还有可不可以通过写图片路径插入图片啊？
小于等于号除了＜加下划线的这种，那种好看一点的怎么打出来诶？