确定性信号的卷积和自相关、互相关的关系

一、卷积和自相关

对于确定性信号，无统计平均含义，其卷积和自相关存在如下关系：

1. 连续信号
$$R_f(\tau )=f(\tau )\ast f(-\tau )$$
2. 离散序列
$$R_h(m)=h(m)\ast h(-m)$$
现证明如下：

1. 连续信号

• 卷积
  
  
  
• 自相关
  
  由此可得，$R_f(\tau )=f(\tau )\ast f(-\tau )$。

2. 离散序列

• 卷积
  
  
  
• 自相关
  
  由此可得，$R_h(m)=h(m)\ast h(-m)$。

二、卷积和互相关

相应地，确定性信号的卷积和互相关的关系为：

1. 连续信号
$$R_{xy}(\tau )=x(-\tau )\ast y(\tau )$$ $$R_{yx}(\tau )=y(-\tau )\ast x(\tau )$$
2. 离散序列
$$R_{xy}(m)=x(-m)\ast y(m)$$ $$R_{yx}(m)=y(-m)\ast x(m)$$
现证明如下：

1. 连续信号

• 卷积
  
  
  

• 互相关
  
  由此可得，$R_{xy}(\tau )=x(-\tau )\ast y(\tau )$，

  同理可推，$R_{yx}(\tau )=y(-\tau )\ast x(\tau )$。

2. 离散序列

• 卷积
  
  
  

• 互相关
  
  由此可得，$R_{xy}(m)=x(-m)\ast y(m)$，

  同理可推，$R_{yx}(m)=y(-m)\ast x(m)$。