数论基础

整除理论：

• 唯一分解定理，对于一个合数，唯一存在一种质数分解。
  应用在算法复杂度估计，因子个数的计算。
  素因子个数为 $O(logn)$ 级别
  因子个数为 $O(\sqrt[3]{n})$ ~ $O(\sqrt{n})$ 级别
• 如果一个数能被一堆数整除，那么这个数被称为这些数的公约数。

裴蜀定理

• 对于 $a,b$，存在 $x,y$ 使得 $ax+by=gcd(a,b)$

• 考虑 $b=0$ 时，令 $x=1,y=0$

• $gcd(a,b)=ax+by=by+(a\%b+\frac{a}{b}\ast b)x=b(y+\frac{a}{b}\ast x)+a\%b\ast x$

同余理论

剩余类:

• 将 $Z$ 根据除 $M$ 的余数分为 $M$ 个不相交的集合

• 例如余数为 $a(0\le a<M)$， 则集合为 $\{kM+a\}$

• 将此集合记为 $[a]，a$ 是一个代表元

• $[a]$ 内和 $[b]$ 内的两个数做加法和乘法运算，得到的结果所属剩余类就是 $[a+b]$ 和 $[ab]$

• 所以我们可以将描述放在剩余类内

欧拉定理

• 定义 $\phi (n)$ 为 $1n$ 中与 $n$ 互质的数的个数
• 则有 $a^{\phi (n)}\equiv 1(modn),gcd(a,n)=1$
• 例如 $5^7\equiv 5(mod7),3^4\equiv 1(mod10)$
• 唯一分解 $n=p_1^{e_1}+p_2^{e_2}+...+p_k^{e_k}={\prod }_{i=1}^k{p}_i^{e_i}$
• 则 $\phi (n)={\prod }_{i=1}^k(p_i-1)p_i^{e_i}$
• 拓展到a与n不互质的情况
  $$a^m\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^m& m<\phi (n)\\ a^{(mmod\phi (n))+\phi (n)}& m\ge \phi (n)\end{array}$$
• 只需要考虑 $a$ 标准分解中与 $n$ 不互质的 $p$

逆元

• 在数论中引入类似倒数的概念
• $p$ 不为 $0$，是否存在 $q$ 使得 $pq\equiv 1(modm)？$
• 当 $p,m$ 互质时存在（由欧拉定理可知）
• 快速幂计算 $q\equiv p^{\phi (m)-1}(modm)$
• 由于很多情况下 $m$ 为质数 $p$，此时幂取 $p-2$ 即可
• 拓展欧几里得算法也可以计算
• 要求很多个怎么办？可以线性递推，不妨令 $p=kq+r$，
  则有 $kq+r\equiv 0(modp)⟺k^{-1}\equiv q{r}^{-1}(modp)$

同余方程

线性同余方程

• 考虑 $ax\equiv b(modm)$
• 即有不定方程 $ax-my=b$
• 利用拓展欧几里得算法求解
• 注意：有无解/一解/多解情况

同余方程组

• 给出多个同余式，求方程组的解
• 先将各个同余式进行独立求解
• 模数两两互质：中国剩余定理，利用类似牛顿插值法的方式合并
• 有模数不互质：最后的模是它们的最小公倍数，用拓展欧几里得两两合并
• 当然也有无解/一解/多解之分

高次同余方程

• $x^k\equiv a(modm)$
• 求 $s>0$ 使得 $a^s\equiv 1(modm)$
• 即求 $ks\equiv 0(mod\phi (m))$
• 注意：有无解/一解/多解情况

数论分块

几个引理

• 整除套整除 $\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}$
• 在所有 $\frac{n}{i}=k$ 的 $i$ 中，最大的是 $\frac{n}{k}$

除商的个数

• 考虑 $\frac{n}{1},\frac{n}{2},\frac{n}{3},...,\frac{n}{n}$
• 举例： $n=10$ 时有 $1,2,3,5,10$
• $k^2\le n<k(k+1)$ 时，有 $2k-1$ 个
• $k(k+1)\le n<(k+1{)}^2$ 时，有 $2k$ 个
• 不同的值约有 $O(\sqrt{n})$ 个

除商的值

• 升序排序 $\frac{n}{1},\frac{n}{2},\frac{n}{3},...,\frac{n}{n}$ 中不同的值
• 前方连续 $1,2,\dots ,k$
• 后方 $\frac{n}{k},\frac{n}{k-1},\frac{n}{k-2},...,\frac{n}{1}$
• 根据引理 $2$ 可以 $O(1)$ 搞定块长
• 以 $\frac{n}{k}$ 值相同的块合并，就是数论分块啦
• 分块实现

for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
    r = n / (n / l);
    ans += ...;
}

积性函数

• 我们称 $f:Z^{+}\to C$ 为数论函数
• 积性函数 $\forall a,b,gcd(a,b)=1$ $f(a)f(b)=f(ab)$
• 完全积性函数 $f(a)f(b)=f(ab)$
• 显然有 $f(1)=1$
• 欧拉函数 $\phi (n)={\sum }_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]$
• 莫比乌斯函数 $\mu (n)=(-1{)}^{k}or0$
• 元函数 $e(n)=[n=1]$
• 恒等函数 $1(n)=1$
• 幂函数 $i{d}^k(n)=n^k$
• 除数函数 ${\sigma }_k(n)={\sum }_{d|n}{d}^k$

线性筛 or 欧拉筛

• 回忆小学就讲过的筛法 $O(nlogn)$，在其过程中，每个数都被其因子访问一遍
• 在其过程中，每个数都被其因子访问一遍，每个数只被访问了 $1$ 次，所以 $O(n)$
• 利用线性筛可以求出积性函数的值,考虑 $f(p^n)$ 与 $f(p^{n-1})$ 之间的关系

$Code:$

if (i % pri[j] == 0)
{
    miu[i * pri[j]] = 0;
    phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
    break;
}
else
{
    miu[i * pri[j]] = -miu[i];
    phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j]-1);
}

• 在计算过程中可以引入辅助数组
• $d$ 表示因子个数， $c$ 表示最小因子指数

$Code:$

if (i % pri[j] == 0)
{
    c[i * pri[j]] = c[i] + 1;
    d[i * pri[j]] = d[i] / (c[i] + 1) * (c[i] + 2);
    break;
}
else
{
    c[i * pri[j]] = 1;
    d[i * pri[j]] = d[i] * 2;
}

狄利克雷卷积

• 定义数论函数之间的运算，$(f\ast g)(n)={\sum }_{ij=n}f(i)g(j)$
• 具有 交换律 结合律
• 对于两个已知值的数论函数进行狄利克雷卷积，考虑 $O(nlogn)$ 的筛法，将 $n$ 的每个因子对其贡献累计上去即可。
• 使用线性筛计算 $f=\mu \ast \mu$

$Code:$

if (i % pri[j] == 0)
{
    miu[i * pri[j]] = 0;
    m[i * pri[j]] = i / pri[j] % pri[j] == 0 ? 0 : m[i / pri[j]];
    break;
}
else
{
    miu[i * pri[j]] = -miu[i];
    m[i * pri[j]] = -2 * m[i];
}

• 使用线性筛计算 $f=\mu \ast \phi$

if (i % pri[j] == 0)
{
    mp[i * pri[j]] = i / pri[j] % pri[j] == 0 ? mp[i] * pri[j] : mp[i / pri[j]] * (pri[j] - 1) * (pri[j] - 1);
    break;
}
else
{
    mp[i * pri[j]] = mp[i] * (pri[j] - 2);
}

杜教筛

• 对于积性函数 $f(n)$ 和较大的 $n\ge 10^8$ 我们很难线性计算 $S(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(n)$

• 找一个 $g(n)$ 使得 $\sum (f\ast g)(n)$ 尽量好算
  ${\sum }_{k=1}^n{\sum }_{ij=k}g(i)f(j)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{\frac{n}{i}}g(i)f(j)={\sum }_{i=1}^{n}g(i)S(\frac{n}{i})$

• 数论分块 + 记忆化
  $g(1)S(n)={\sum }_{i=1}^n(f\ast g)(i)-{\sum }_{i=2}^{n}g(1)S(\frac{n}{i})$

• 假设对 $g(n)$ 和 $(f\ast g)(n)$ 的求和线性，直接使用杜教筛 $T(n)O(n^{3/4})$，先线性筛前 $O(n^{2/3})$ 项则 $T(n)O(n^{2/3})$

• $M(n)={\sum }_{i=1}^n\mu (i)=1-{\sum }_{i=2}^{n}M(\frac{n}{i})$

• $\varphi (n)={\sum }_{i=1}^n\varphi (i)=\frac{n(n+1)}{2}-{\sum }_{i=2}^n\varphi (\frac{n}{i})$

• $B(n)={\sum }_{i=1}^n\phi (i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-{\sum }_{i=2}^{n}iB(\frac{n}{i})$

目前就接触了这些，以后又新的再去补充。