函数项级数

1.级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\ln n}{n}{x}^n$ 的收敛域为______。

2.已知 $f\in \mathbb{C}[0,1]$ ，且 $f(1)=0$ ，证明：函数列 $\{x^{n}f(x)\}$在$[0,1]$ 上一致收敛。

3.幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(n!{)}^2}{(2n)!}{x}^n$的 收敛半径为_______。