Variational Autoencoders and Nonlinear ICA: A Unifying Framework

Khemakhem I., Kingma D. P., Monti R. P. and Hyv"{a}rinen A. Variational autoencoders and nonlinear ICA: a unifying framework. In International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS), 2020.

概

本文讨论identifiability的问题, 即
$$p_{\theta }(x)=p_{\tilde{\theta }}(x)\Rightarrow \theta =\tilde{\theta }$$
在何种情况下能够成立, 或者近似成立.

主要内容

假设观测数据$x$和隐变量$z$满足联合分布:
$$p_{{\theta }^{\ast }}(x,z)=p_{{\theta }^{\ast }}(x|z)p_{{\theta }^{\ast }}(z),$$
因为隐变量是未知的, 所以我们接触到的实际上只有边际分布
$$p_{{\theta }^{\ast }}(x)={\int }_z{p}_{{\theta }^{\ast }}(x,z)\mathrm{d}z.$$
在实际估计参数$\theta$的时候, 很有可能发生:
$$p_{\theta }(x)=p_{\tilde{\theta }}(x)\approx p_{{\theta }^{\ast }}(x),\theta \ne \tilde{\theta }.$$
即两个不同的联合分布$p_{\theta }(x,z),p_{\tilde{\theta }}(x,z)$但是却对应着同一个边际分布, 这就identifiability的问题.
在经典的VAE框架中, 已经有工作指出, 无监督下, 即仅凭观测数据$x$, 是无法保证identifiability的.

本文的模型

本文需要用到一些额外的信息$u$, 考虑如下分布:
$$p_{\theta }(x,z|u)=p_f(x|z)p_{T,\lambda }(z|u),\theta =(f,T,\lambda ).$$
注: $x\in {\mathbb{R}}^d,z\in {\mathbb{R}}^n,u\in {\mathbb{R}}^m$.

其中,
$$x=f(z)+ϵ\Rightarrow p_f(x|z)=p_{ϵ}(x-f(z)).$$
$$p_{T,\lambda }(z|u)=\prod _i\frac{Q_i(z_i)}{Z_i(u)}\exp [\sum _{j=1}^k{T}_{i,j}(z_i){\lambda }_{i,j}(u)],$$
即假设先验$z|\mu$满足的是指数族的分布.

套用VAE的框架:

1. encoder:
   $$\hat{T},\hat{\lambda }=h(x,u;\varphi ),z\sim p_{\hat{T},\hat{\lambda }}(z|u).$$
2. decoder:
   $$\hat{x}=f(z)+ϵ.$$

既估计的后验分布为$q_{\varphi }(z|x,\mu )$, 则ELBO:
$${\mathbb{E}}_{q_{\mathcal{D}(x,u)}}[{\mathbb{E}}_{q_{\varphi }(z|x,u)}[\log p_{\theta }(x,z|u)-\log q_{\varphi }(z|x,u)]].$$

Identifiability

$\sim$定义: 定义$\sim$等价关系如下:
$$\begin{gathered} (f,T,\lambda )\sim (\tilde{f},\tilde{T},\tilde{\lambda })\iff \\ \exists A,c,\mathrm{s}.\mathrm{t}.T(f^{-1}(x))=A\tilde{T}({\tilde{f}}^{-1}(x))+c,\forall x\in \mathcal{X}, \end{gathered}$$
其中$A\in {\mathbb{R}}^{nk\times nk}$. 若$A$还是个可逆矩阵, 则
$$(f,T,\lambda ){\sim }_A(\tilde{f},\tilde{T},\tilde{\lambda }).$$

显然, 如果
$$p_{\theta }(x|u)=p_{\tilde{\theta }}(x|u)\Rightarrow \theta {\sim }_A\tilde{\theta },$$
那么可以说是在线性变换允许范围内是identifiable的.

接下来给出的定理说明了什么时候$\theta ,\tilde{\theta }$是${\sim }_A$-identifiable的.

定理: 在前述定义的模型下, 对于$\theta =(f,T,\lambda )$, 以及任意$\tilde{\theta }=(\tilde{f},\tilde{T},\tilde{\lambda })$满足
$$p_{\theta }(x|u)=p_{\tilde{\theta }}(x|u),a.e.,$$
若一下条件成立, 则$\theta {\sim }_A\tilde{\theta }$:

1. 若${\phi }_{ϵ}$为$p_{ϵ}$的特征函数(这里即为对于的傅里叶变换), 且${\phi }_{ϵ}\ne 0,a.e.$.

2. $f$是一个单射.

3. $T_{i,j}$几乎处处可微, 且$(T_{ij}{)}_j(x)$线性独立, 即
   $$\sum _j^k{\alpha }_{ij}{T}_{i,j}(x)=c_i,\forall x,\Rightarrow c_i=0,{\alpha }_{ij}=0,\forall j,$$
   对于$i=1,\dots ,n$均成立.

4. 存在不同的点$u^0,\cdots ,u^{nk}$, 使得
   $$L=(\lambda (u_1)-\lambda (u_0),\cdots ,\lambda (u_{nk})-\lambda (u_0))\in {\mathbb{R}}^{nk\times nk}.$$
   可逆.

证明流程:
利用条件1, 2证明
$$p_{T,\lambda }(f^{-1}(x)|u)\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}{J}_{f^{-1}}(x)=p_{\tilde{T},\tilde{\lambda }}(f^{-1}(x)|u)\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}{J}_{{\tilde{f}}^{-1}}(x).$$
利用条件4证明
$$T(f^{-1}(x))=A\tilde{T}({\tilde{f}}^{-1}(x))+c,A=L^{-T}{\tilde{L}}^T.$$
利用条件3证明$A$可逆.

注: 显然条件四一定程度熵说明了为什么无监督不行(因为其相当于$\lambda (u)$为常数).

注: 关于引理2的证明我有疑问, 我认为应当这般证明:

令${\mathcal{X}}_i=\{x\in \mathbb{R},T_i^{\prime }(x)=0\}$, 取${\theta }_i\ne 0,{\theta }_j=0,j\ne i$, 则
$$⟨T^{\prime }(x),\theta ⟩=0,\forall x\in {\mathcal{X}}_i\Rightarrow ⟨T(x),\theta ⟩=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$$
由定义知${\mathcal{X}}_i$的测度为0.

注: 本文还有一些别的identifiability的讨论, 这里不多赘述.