隐函数存在定理

隐函数存在定理

例题：

1.设有二元函数$xy-z\ln y+z^2=1$，根据隐函数存在定理，存在点$(1,1,0)$的一个邻域，在此邻域内该方程()

A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数$z=z(x,y)$
B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数$y=y(x,z)$和$z=z(x,y)$
C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数$x=x(y,z)$和$z=z(x,y)$
D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数$x=x(y,z)$和$y=y(x,z)$

解析：令
$$F(x,y,z)=xy-z\ln y+z^2-1$$
则
$$F(1,1,0)=0$$
且
$$\begin{array}{c}{F}_x^{\prime }=y,F_y^{\prime }=x-\frac{z}{y},F_z^{\prime }=-\ln y+2z\\ F_x^{\prime }(1,1,0)=1,F_y^{\prime }(1,1,0)=1,F_z^{\prime }(1,1,0)=0\end{array}$$
由隐函数存在定理可知，只能确定两个具有连续偏导数的函数$x=x(y,z)$和$y=y(x,z)$，故应选D。

注解：

隐函数存在定理1:设函数$F(x,y)$在点$P\left(x_0,y_0\right)$的某一邻域内具有连续偏导数，且$F\left(x_0,y_0\right)=0,F_y\left(x_0,y_0\right)\ne 0$，则方程$F(x,y)=0$在点$\left(x_0,y_0\right)$的某一个邻域内恒内确定一个连续且具有连续导数的函数$y=f(x)$，它满足条件$y_0=f\left(x_0\right)$，并有
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}$$

隐函数存在定理2：设函数$F(x,y,z)$在点$P\left(x_0,y_0,z_0\right)$的某一邻域内具有连续偏导数，且$F\left(x_0,y_0,z_0\right)=0,F_z\left(x_0,y_0,z_0\right)\ne 0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$\left(x_0,y_0,z_0\right)$的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数$z=f(x,y)$,他满足条件$z_0=f\left(x_0,y_0\right)$，并有
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

隐函数存在定理3：设$F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)$在点$P\left(x_0,y_0,u_0,v_0\right)$的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又$F\left(x_0,y_0,u_0,v_0\right)=0,G\left(x_0,y_0,u_0,v_0\right)=0$，且偏导数所组成的函数行列式
$$J=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u}& \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right|$$
在点$P\left(x_0,y_0,u_0,v_0\right)$不等于零，则方程则$F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0$在点$\left(x_0,y_0,u_0,v_0\right)$的某一邻域内恒能确定一组连续且具有连续偏导数的函数$u=u(x,y),v=v(x,y)$，他们满足条件$u_0=u\left(x_0,y_0\right),v_0=v\left(x_0,y_0\right)$

隐函数存在定理的应用：

例一：方程
$$x^2{y}^2-3y+2x^3=0$$
在点$(1,1)$与$(1,2)$两点的近旁定义着$y$为$x$的函数，试求$f^{\prime }(1)$

解析:令$F(x,y)=x^2{y}^2-3y+2x^3$，我们有$F(1,1)=0$及$F(1,2)=0$，此外：

$$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=2x^{2}y-3$$

$$\frac{\partial F}{\partial y}(1,1)=-1,\frac{\partial F}{\partial y}(1,2)=1$$

因此在$(1,1)$近旁
$$f^{\prime }(1)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(1,1)}{\frac{\partial F}{\partial y}(1,1)}=\frac{-8}{-1}=8$$
在$(1,2)$近旁
$$f^{\prime }(1)=\frac{-\frac{\partial F}{\partial x}(1,2)}{\frac{\partial F}{\partial y}(1,2)}=\frac{-14}{1}=-14$$

这个例子不通过隐函数定理也能算出需要的答案，因为方程$x^2{y}^2-3y+2x^3=0$可以看做是$y$的二次方程，从中容易解出$y$对于$x$的依赖关系，然后直接求导即可。

例二：方程
$$\sin x+\log y-x{y}^3=0$$
在点$(0,1)$的近旁确定函数$y=f(x)$，求$f^{\prime }(0)$

解析：令$F(x,y)=\sin x+\log y-x{y}^3$，那么$F(0,1)=0$，而且:

$$\frac{\partial F(0,1)}{\partial x}=0,\frac{\partial F(0,1)}{\partial y}=1$$
因此：
$$f^{\prime }(0)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(0,1)}{\frac{\partial F}{\partial y}(0,1)}=0$$

这个例子就非用隐函数定理不可，因为从给出的方程中无法解出$y$对$x$的显示关系