为什么会有特征函数？
“a generating function is like a clothesline on which we hang up a sequence of numbers.”__________Herbert Wilf
ψ x ( t ) = E ( e i t x ) \psi_x(t)=E(e^{itx})ψx(t)=E(eitx)
观察e i t x e^{itx}eitx的泰勒展开
e i t x = 1 + i t x 1 − t 2 x 2 2 . . . + ( i t ) n x n n ! e^{itx}=1+\frac{itx}{1}-\frac{t^2x^2}{2}...+\frac{(it)^nx^n}{n!}eitx=1+1itx−2t2x2...+n!(it)nxn
E ( e i t x ) = e i t x = 1 + i t E ( x ) 1 − t 2 E ( x 2 ) 2 . . . + ( i t ) n E ( x n ) n ! E(e^{itx})=e^{itx}=1+\frac{itE(x)}{1}-\frac{t^2E(x^2)}{2}...+\frac{(it)^nE(x^n)}{n!}E(eitx)=eitx=1+1itE(x)−2t2E(x2)...+n!(it)nE(xn)
包含分布函数所有矩。即包含该分布函数的全部特征。而且根据泰勒级数，两个函数的各阶导数相同的越多，则这两个函数越相似。
因此，如果特征函数相等，则该分布的各个特征相等，则该分布相同。
“a generating function is like a clothesline on which we hang up a sequence of numbers.”__________Herbert Wilf
傅立叶逆变换
当随机变量X为连续随机变量，密度函数为p(x),特征函数为ψ ( x ) \psi(x)ψ(x),可以用傅立叶逆变换（实质上是一对互逆变换）。
ψ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x p ( x ) d x \psi(t)=\int^{\infty}_{-\infty}e^{itx}p(x)dxψ(t)=∫−∞∞eitxp(x)dx
p ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i t x ψ ( t ) d t p(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}e^{-itx}\psi(t)dtp(x)=2π1∫−∞∞e−itxψ(t)dt
逆转公式
唯一性定理
随机变量的分布由其特征函数惟一决定
即随机变量的特征函数相同，其分布就相同，可用逆转公式进行证明
应用：验证正态分布的可加性…
根据特征函数判断分布
专门用来使用特征函数的乘积来处理独立随机变量和的分布
特征函数的性质
常用分布的特征函数
分布函数的连续性定理
分布函数序列F n ( x ) {F_n(x)}Fn(x) 弱收敛于分布函数F ( x ) F(x)F(x)的充要条件是其 特征函数序列ψ x ( t ) \psi_x(t)ψx(t)收敛于F(x)的特征函数ψ ( t ) \psi(t)ψ(t).