CES生产函数中参数的意义

CES生产函数是形如 $Q=F(aK^\rho+(1-a)L^\rho)^{1/\rho}$ 的函数，其中 $\a$ $\a$ $a$ 是各投入物对产出的贡献， $\rho$ 是弹性参数， $\sigma=\frac{1}{1-\rho}$ 是替代弹性

至于 $\sigma$ 为什么是替代弹性，可参见这篇博文（注意ta的公式中的 $\rho$ 和我的差一个正负号）

https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/6490102

我在这里要分析一下 $a$ 和 $\rho$ 的意义：

$\rho$ 是弹性参数，取值范围是[1,负无穷)， $\rho$ 是1的时候，K和L的作用是完全替代的， $\rho$ 是负无穷的时候，K和L的作用完全互补（不能替代）的。

课本就是这么说的，但要想理解，看看实例最简单。

假设a=0.5， $\rho$ 分别取1,0.5,0,-10,-200，F为1，中间的值为Q的计算值

K	L	1	0.5	0	-10	-200
8	12	10.00	9.90	9.80	8.56	8.03
9	11	10.00	9.97	9.95	9.53	9.03
10	10	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00
11	9	10.00	9.97	9.95	9.53	9.03
12	8	10.00	9.90	9.80	8.56	8.03

在这张表中，KL之和为20。当 $\rho$ 是1的时候，KL完全替代，因此产出恒定是10。但 $\rho$ 不为1时，AB不再是完全替代，Q也就都小于10（要素的配置不是最优）。 $\rho$ 越来越小时，KL越来越是互补品，Q越来越受限于KL中的短板，比如 $\rho$ 是-200，K虽然有12，但都发挥不出来，Q的产出主要由较少的L决定。这就是为什么“ $\rho$ 是1的时候，K和L的作用是完全替代的， $\rho$ 是负无穷的时候，K和L的作用完全互补（不能替代）的”。

值得注意的是， $\rho$ 是0的时候，是不能用上文的公式直接计算Q的。 $\rho$ 是0的时候，Q的公式就是大名鼎鼎的柯布道格拉斯方程， $Q=K^aL^{1-a}$ ，具体为什么可以参见上文中提到的另一篇博文。但可以看见，弹性参数是0并不代表弹性是0，弹性参数是0时，KL甚至还很接近完全替代呢。因此柯布道格拉斯也没什么特殊的，只是CES在 $\rho$ 为0时的特殊数学表达。

K	L	1	0.5	0	-10	-200
8	10	9.00	8.97	8.94	8.49	8.03
9	10	9.50	9.49	9.49	9.36	9.03
10	10	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00
10	12	10.50	10.49	10.49	10.37	10.03
10	13	11.00	10.98	10.95	10.56	10.03

我们继续研究。在这张表中，KL的和围绕20变动。当 $\rho$ 是1的时候，KL完全替代，Q只与KL的总和有关。但当 $\rho$ 是-200时，KL替代效果很差，因此KL的搭配必须合理才能增加Q。

下面我们来看看a的作用，假设a=0.3：

K	L	1	0.5	0	-10	-200
8	12	10.80	10.72	10.63	8.99	8.05
9	11	10.40	10.38	10.36	9.88	9.05
10	10	10.00	10.00	10.00	10.00	10.00
11	9	9.60	9.58	9.56	9.27	9.02
12	8	9.20	9.12	9.03	8.28	8.01

这时候K对Q的贡献比较低，因此哪怕 $\rho$ 是1的时候，KL也不是所谓的“完全替代“，L多一点是能更好的提高Q的。同样， $\rho$ 是-200的时候，虽然KL的替代效果很差，但更高的L还是能稍微提高一点Q。

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最后说一下由于 $\rho$ 取值范围是[1,负无穷)， $\sigma$ 的取值范围是(0,正无穷）， $\sigma$ 在（0,0.2）左右时， $\rho$ 的变化是从（负无穷，-4），就是由明显互补到了略微互补，变化比较明显。 $\sigma$ 在（1,正无穷）区间内， $\rho$ 的变化是从（0,1)，由较明显替代到完全替代，变化不明显。

原文链接：https://blog.csdn.net/Northernland/article/details/108440025