奈奎斯特准则的简洁证明

一般而言，发送滤波器和接收滤波器的冲激响应相同且关于原点对称，有用信号事实上经过了这两个滤波器，所以等效滤波器为：

为使无符号间干扰， 应满足：

 奈奎斯特准则指出上式等价于：

其中 表示的傅里叶变换，是符号间隔时间。

证明：

其中表示傅里叶变换，表示冲激函数以T为周期进行周期延拓所得的周期冲激函数，它的傅里叶变换为，其中，是冲激函数以为周期进行周期延拓所得。至于为什么，我们知道周期函数的傅里叶变换是：其单个周期的傅里叶变换的冲激采样再乘以采样间隔。具体说，是以T为周期的周期函数，它的单个周期为，对应的傅里叶变换为，对在频域以间隔冲激采样得到,再乘以采样间隔就是。我们可以发现上式左边其实就等于,所以接下来有：

得证。